数学内容复习三

平面几何，你需要知道的。首先让我们来看看我正在玩的这个游戏，我现在正在玩飞镖，我真的很接近胜利，但是为了赢，我需要在下一次投掷中得到六分或者更多，现在我很好奇，我的胜算是什么？我击中内环某个地方的机会有多大，在下一次掷骰中会给我六分或更多分，实际上你可以用几何来解决这个问题。在这一集中，我们将首先讨论平面几何；比如圆，你们知道三角形，正方形，然后我们将继续讨论坐标几何，讨论斜率和直线。让我们开始吧。
让我们来看看平面几何的顶级主题。你们可以看到这里有很多主题但是ACT中有很多平面几何，60个中有14个。所以测试的四分之一都是平面几何。我们会复习所有这些概念因为我想让你们在开始测试之前对它们感觉良好。我们将讨论线和角，三角形，圆形，正方形和矩形，我们将做一个多重图形的问题，一个结合两个或更多形状的问题。
关于线和角，有几件事我想让你们记住。现在我很快地把这个推导出来。沿着线180度的角度,你可能会记得这从数学课但是以防你知道只要你有你,你有两个或两个以上的角度,这两个角加起来180例如如果这是120,这个角是60。好了另一件事;点周围的角和为360度，对顶角全等。假设我有一个点周围的角，这是我的点，这里有一个点周围的角，四个角所有的角加起来等于360度顺便说一下，对顶角是全等的。对顶角是对边上的两个角比如这个角是这个角的对顶角，所以这两个角是相等的，这个角和这个角也是相等的因为这也是一个对顶角。
我最喜欢的一个主题是线条和角度；当两条平行线被一条横截线切断时，会发生一些非常整洁的事情。你可能在想横向，天哪，她在说什么？所有的横截面都是，只是一条穿过两条平行线的线，让我画一幅图，现在你们要说，“哦，你们知道我以前看到过什么吗？”你们记得吗？你通常会看到，这是第一条线，这是第二条线，它们是平行的，有一条线穿过它们。当你看到这样的东西时，你可以推断出一些关于角度的很酷的事情。只要你有一个角度测量，你就可以找到所有的角度。比如说，我告诉过你，这个角度是60度，很好，让我们找到所有其他角度。我们知道，因为这是60，所以这必须是120，因为他们就像我们所说的一样。很好，现在我们知道这一个也必须是60，因为它是垂直的，这一个也必须是120，因为它是垂直的，也因为它们与其他角度在同一条线上。好的，这里是60，这里是120。好的，但是这个底部呢？你怎么知道那些是什么？这就是另一条规则的由来，当你有两条平行线被一个横向的、交替的内角所切割时，内角是全等的。这些是我说的角度，你知道，在这里看到的Z的内部，所以这里的60度角等于这里的这个角，你看到这两条平行线的相对内角，这里也是一样的，因为这里的角是120，这个和内部相对的角度是120，所以这个是120，然后这个是60。好的，希望你们能看到这里有120和60，这里有60和120，一旦你们有了这个，你们又知道这是垂直的，所以这也是120，这是垂直的，所以也是60，我们开始。所以只要知道一个角度，当你有两条平行线被一条横截时，你就能找到所有的角度。
让我们进入下一个大话题，三角形。你通常会在表演中看到三到四个三角形的问题，所以你想对三角形感到非常舒服。让我们看看他们会问的第一件事；三角形的面积，你需要知道这个公式。记住，他们不会给你任何公式，你真的需要了解他们。三角形的面积是基准乘以高度除以二。让我给你举几个例子来说明如何找到一个区域。最简单的是直角三角形，比方说我在这里画一个直角三角形，我把它放在这里[用我的小直角，让我告诉你，好的，你知道这是四，这是五，好的，很容易找到这个区域。我们有我们的基地，我们有我们的高度，如果你不确定什么是基地，什么是高度，基地在底部，规则是要有一个高度，你必须以90度击中基地，这就是f a高度；它在90度击中底部。这很简单，你得到了你的高度，然后是你的底部，你知道面积将是4乘以5，即20乘以2，即10；所以面积将是20，4乘以5乘以2，即10。非常简单，但是，当你看不到突出的高度时，会发生什么，那就是在90度。如果你看到一个三角形，看起来像这样，你看着它，你在想什么是高度，什么是下降的？希望你能从学校记住这一点，这是你下降高度的时候，对吧，你会看到这种虚线，几乎是假的线，你只是为了找到这个区域从底部往下看，这是你的底部，整个底部，这是你的高度，在表演中，它们总是一种让你知道长度的方法，这样你就可以找到面积。同样，这是两种不同的排列方式，你将如何寻找面积。始终寻找你的底部和y我们的高度，如果因为它不是直角三角形而不明显，确保你在找一个可以降低高度的地方，然后你会得到你的高度和你的基础，再一次，它将是基础乘以高度除以2的任意值。
让我们继续，更多关于三角形的内容，周长我们知道周长就是所有的边的总和，所以所有三条边加在一起就是三角形的周长。三角形的所有三个角加起来等于180度，这是另一件偶尔用三角形测试的事情。三个角度加起来就是180。关于另一个常见的三角形概念，类似的三角形。类似的三角形有相等的角度和成比例的边，我想说它们有点像邪恶博士和迷你们。其中一个三角形是第二个三角形的缩影，让我来告诉你们我的意思；你会看到这样的东西，你会有一个大三角形和一个小三角形，然后你会知道这些角是全等的，也许它们只是像这样的线[IB]你知道哦，这个角和这个角一样，这个角和这个角一样，这意味着第三个角也必须全等。在这种情况下，如果角度相同，大小必须成比例。假设你知道，这个有两个边，这个有四个边。比例。我知道所有这些边都是双边，这个三角形的所有边，比如这个，你知道的，二，三，四，这是四，六，八。所以你看边是成比例的，我们在代数课前的一集中再次谈到了比例，在这一幕中，你实际上需要用比例找到一个缺失的边，为了进行更多的练习，请看你的奖励材料，我有一些[IB]来练习。
让我们继续看直角三角形，这是你在表演中看到的最常见的三角形。对于直角三角形，你需要知道一些事情。第一个角度等于90度，这是一个直角三角形，第二个是毕达哥拉斯定理；a的平方加上b的平方等于c的平方，你需要知道这一点，所以如果你还没有背诵的话，记住它。让我给你们看一个使用毕达哥拉斯定理的快速例子；如果我在这里有一个直角三角形，我知道这一边是三，这一边是四，我在寻找斜边，这一边与我的直角相对，我们不知道它是什么。好的，我们知道3平方加4平方等于X平方，所以我们有3平方加4平方等于X平方。我们知道9加16等于X的平方。25等于X的平方，所以你要取两边的平方根，去掉你的指数，X是25的平方根，等于5。现在我们开始，我们的第三条边是直角三角形上的五条边。这是一个使用毕达哥拉斯定理的例子。稍后我们将有另一个例子再次练习。
还有一些直角三角形，45-45-90和30-60-90三角形是最常用的直角三角形。这意味着你会看到三角形，它们的角度是45度，45度和90度，或者30度，60度和90度。当你看到像这样的三角形时，它们总是有非常特殊的比例边。让我们从45-45-90开始，我来告诉你们我的意思。如果我这里有一个45-45-90三角形，好的，我们知道45-45-90，有些细节总是一样的。你总是会有以下比例的边：你会有2的X-X-X平方根，你会想，她在说什么？我给你看看。这意味着，与45度角相对的一侧，我们称之为X，短边。我们将有这些，我们称之为X，90度角的对边，斜边，是最短边的两倍。这里我们有两个短边，非常激进，两边都是。这就是你的比例，45-45-90，如果你把45 X的反方向称为X，那么你就得到了X；你有X-X-X根2。
让我把它付诸实践，这样你们就明白我在说什么了。例如，如果我告诉你，其中一个边是3。这是45度角的对边，这是X，这是这个比例的最短边从这个比例中我们知道90度角的对边总是根号2乘以最短长度。现在我知道即使我做勾股定理,这里的斜边,90度角的边是激进的两次三个三个激进的两个,也因为这两个都是相反的45度角,这些是等价的,所以这两个方面将会是三个。这就是侧比例的作用，在45-45-90度。
让我们看看30-60-90。在这种情况下，我再画一个三角形，比例有点不同。这是30，这是60。好了，你的比例如下。如果我们称最短的边为X，那么最短的边总是最小角的对边。如果短边X对着30。所以60度角的对边总是根号3乘以X，所以X根号3斜边总是最短边的两倍。为了成比例，我写两个X如果X是最短的边，中间的边是根号的3倍斜边是2倍的。我们来看看实数是什么样子的。举个例子，如果我告诉你，在短边的对面，你有4个。 You would know okay, well then opposite my 60 degree angle; I've got four radical three, right? My short side times radical three. And I would know right away that my hypotenuse was twice that short side, which is eight. Now on the ACT sometimes when they get a little more complicated, they won't give you the shortest side, so you'll have to work backward. For example, maybe they'll give you eight and then you have to remember huh! Think proportions, oh! The hypotenuse is always twice the short side so if hypotenuse is eight and I work backwards, the short side must be four and then once I know the short side is four, oh that middle side, radical three times the short side so four radical three.
所以这就是你如何使用这些比例。我知道这听起来很复杂，学生们通常需要一些练习才能完全理解这一点，所以这就是为什么在你的奖励材料中有一个很好的教程。如果你感觉有点不确定，并且你不记得你在高中时学过这个，那就去那个教程吧希望你对此感觉很好。
好了，我们来看一个例题，我们会把这些概念用到其中。好了，这是我们的图，图上的数字不是按比例画的顺便说一下我们在ACT中讨论过我们的策略，通常是这样的但是在上图中，BC是根号2,AD的长度是多少?这是一个很难的问题。你没有很多信息，你已经知道了这个三角形的边长题目问的是这个三角形的边长。但是我们可以用什么呢?我们刚刚讨论了直角三角形我们刚刚讨论了非常常见的三角形，45-45-90和30-60-90。开始了，我们有一个45-45-90，对吧?我们知道这条边是45度因为我们说过角和是180度，这是90度，这是45度，这也是45度。那么现在我们可以用这些信息做什么呢?我们讨论过边比，对吧? We know that if you have the two sides opposite the 45 degree angles, if we call those X or whatever we call them, you're going to have the hypotenuse be radical two times those lengths, either one of them. So radical two times either one of the lengths. So here even without doing the Pythagorean Theorem, which we could do. We could do you know, radical two squared plus radical two squared because these are equivalent, equals our hypotenuse squared but a lot faster to just think, I know hypotenuse radical two times my shortest length because it's a 45-45-90 so radical two times radical two which would just be two. So here we go, I can draw on this two and now we have a piece of information that will help us with this triangle which looks suspiciously like a 30-60-90 triangle. And keep a lookout because again this will show up with the most frequency. So seems a little disguised but now we look closely, we're missing the 30 we drew in, it's a 30-60-90 and again side proportions that can help us. What did we talk about? We talked about how in a 30-60-90 the hypotenuse, the side opposite the 90 degrees is always twice your short length, twice the shortest length. The shortest length again opposite the smallest angle, that makes sense so here because we know that side, that side is two, then we know that the hypotenuse is twice that which would be four so here we go. We've got AD, we've got our hypotenuse and that's the answer. So the answer choice here would be D.
我们继续讨论圆。你们在基础几何中学过这个复习一下。这是一个圆，你有面积和周长的方程。面积的方程是R方周长的方程是2 R现在如果你想，R是什么?R是半径;记住，半径是从圆的中间到外面的直线。这就是半径。直径是半径的两倍，也就是整个圆的长度的两倍。提醒一下。有时学生问我，面积和周长有什么区别，我告诉他们，对于面积，就像一块地毯，你覆盖了一个表面积。 That would be the whole inside, on the other hand, circumference that's like perimeter, that's like a fence and that would be measuring just the outside line, how long that is.
让我们看看问题，回到我的飞镖板。你还记得我在想我下一次掷六分或更多分的几率有多大吗。让我们仔细看看。为了得到六分或更多的分数，我必须在这个内圈的任何地方击球，这里有六分、七分、八分或九分的选择，如果我击中中间，那就是我需要击球的地方。我怎么才能知道我的胜算是多少？好吧，让我们想想，我可以通过计算出我要瞄准的内圈的面积与我可能击中的整个棋盘的面积来找出我的胜算。让我们计算一下，我测量了它，发现我的整个镖靶板的半径是6英寸，目标区域的半径是4英寸。好的，让我们找出两者的面积。首先是目标区域。我们得到目标区域的半径是4，记住区域πR平方，好的，πR平方，π乘以4平方，16π。16π是我想要击中的小部分的面积，整个区域的面积是多少？我们知道半径是6，所以π乘以6的平方。整个物体的面积，36π。现在我得到了两者的面积，对吗？小的面积是16π，大的是36π，那个么几率是多少？概率是16比36，对吧？让我们来弄清楚。16比36是多少？我要用我的计算器。16除以36大约是4点，44%。所以在下一次投掷时，我有44%的机会击中整个圆圈的中间部分，很酷。让我们看看更多的几何图形。
多重图形的问题，这是很困难的，你会看到一些这样的问题这需要你做的是把你对几个不同形状的了解结合起来。这是你们在ACT数学考试中见过的最难的问题之一。在上图中，一个正方形内嵌在一个面积为16圆周率的圆内。这个正方形的面积是多少?希望你们还记得正方形的面积，长度乘以宽度，对吧?一条边乘以一条边，我们要求出这条边我们需要一个圆来帮助我们。我们知道这个圆的面积是16，还记得面积R的平方是多少平方等于16?４ ．好的，我们知道半径是4，如果从这到这部分的半径是4，我们还能做什么?我们知道直径是半径的两倍，对吧? So from here to here across this square and across this circle, that's going to have to be 8 right, it is that whole length. So now we know and we write diameter equals 8. Alright so hopefully you're following me, this again is a really tough problem. We've got the radius is 4 therefore we know the diameter across the circle is 8 and oh, by the way this helps us with our square now, because now we have a line across the middle of our square that's dividing it into two right triangles, two 90 degree triangles and we can use something we learned when we talked about right triangles here so see another piece of information about a shape. Okay well we talked about how you usually have 45-45-90 or 30-60-90 right triangles on this test.
现在你得到了这个形状这个有四个90度角的正方形你把这些角切成两半，就得到了两个45-45-90度的三角形，对吧?好了，听我说，马上就好了。两个45-45-90三角形在这种情况下我们讲了什么比例，对吧?我们讲过在45-45-90度三角形中斜边，90度角的对边是根号2乘以一条边，这对我们有帮助。我们知道8，这整条对角线的长度是根号2乘以这条边的长度同样，这条边就是我们需要求出的面积。让我们这样做,所以我们知道8 =激进的2倍边好让我们简化然后我们可以找出我们这边是什么,我们知道如果我们移动激进2结束,8 /激进2 =一个,现在我们要把双方区域。顺便说一下，你们可能会想为什么根号是分母呢?我们需要改变它吗?希望你们在学校学过如何使分母合理化，这里我们不关心它,因为我们要乘两个自由基底部这将变成发现该地区现在或双方两边乘以8激进2 * 8在激进两然后你最后8 * 8 = 64 / 2,因为这些激进分子消掉了。所以你得到64除以2，现在我们把它化简成32，很好，答案是D同样，这是你会看到的最困难的几何问题如果你明白了，感觉很好，如果不重新看一遍，好的。 That's it for top plane geometry concepts you need to know, remember this make up a quarter of the test so you want to feel really, really good about them and so if you want more practice make sure to head to your bonus material.
坐标几何，ACT数学中有9个这样的概念我们来看看前三个将要被测试的概念。直线的第一个方程，斜率和截距。直线方程，希望你们还记得这个，y=mx+b，我们来看看这部分。m是斜率，我们一会再详细讨论，b是y轴截距。我们沿着y轴，方程中的x和y通常是x和y但实际上它们是，直线上任意点的坐标。我们来看看斜率;斜率是上升量除以平移量，y的变化量除以x的变化量，这意味着当你看到一条直线时，斜率就是它上升了多少除以它上升了多少。这里，我们看到斜率是1 / 1，也就是1。我们来看看这个方程;在ACT考试中，有时会有两组点需要求出它们的斜率。 This is the equation; Y2 minus Y1 over X2 minus X1, Let's take an example so you see what I mean. Find the slope of a line passing through the points 3,1 and the point 4,2. Okay great, remember our equation, Y2 minus Y1 over X2 minus X1 so our second Y which is 2 minus our first Y which is 1 over our second X which is 4 minus our first X which is 3 so what do you get? You get 1 over 1, just 1. So our slope here again is just 1, answer choice D.
继续，让我们来谈谈寻找拦截。所以我想提醒学生们，X轴截距和Y轴截距的区别，因为考试中有关于两者的问题。X轴截距定义为直线与X轴交点的X坐标我给你们看一下，如果我在这里有一个坐标平面。可以看到，当我们沿X轴运动时，它在这里当我们沿X轴运动时，这是X轴截距在这一点上，Y等于0。你沿着X运动，X会有一个数字，但是Y坐标，你不会在Y上移动，它会是零。对于Y也是一样，如果你见过Y轴截距，也就是沿着Y轴到达这里的点，在这个点X等于0。让我们来看一个例子;Y - 4x = - 9这条直线的Y轴截距是多少。几种不同的方法可以做到这一点,你可能会看这个,认为这条线看起来很时髦的,这个方程,就是因为它不是在一种y = mx + b,那么你可以做的是重新排列它的y = mx + b形式,然后你会记得b是y轴截距,这样你可以找到。还记得在Y轴截距处，X = 0，把X设为0，如果有Y - 4 * 0，那就是Y - 0，那就是- 9。 So here we go, our y intercept is just negative 9 and that's it, we've finished our review of top coordinate geometry concepts, remember if you need more help there's a lot in your bonus materials for you to practice with.
让我们回顾一下，我们讨论了平面几何，我们讨论了您需要知道的最重要的概念。记住，60道数学题中有14道是关于平面几何的，所以请确保你对这些概念很熟悉。我们还讨论了坐标几何，记住它们会出现九次，所以你看，在ACT数学中有很多几何。确保你真的练习，这样你在考试日对这些概念感觉良好。