AP技巧，第一部分

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我们现在要继续看一些不寻常的问题，那些不简单的问题。求导数，求积分问题。但在这些问题上，你必须退后一步，从理论的角度来思考到底发生了什么。

我的课程中有很多这样的东西，很多都包含在叫做AP技巧的章节中。AP技巧2,3,4，等等。它们不是真正的把戏，它们不是噱头。它们确实是有意义的。但你们需要做好准备，因为这类问题不是你们在学习微积分时可能做过的大量的。通常，在一门典型的课程中，你在AP考试的最后阶段复习之前是不会做这些的。

这里有一个。这个问题没有太多的理论，但这是今年早些时候的问题。如果你在4月或3月看这门课，你可能会忘记一些东西。在这个问题上，我有一个图我要求你们找出一大堆不同的极限导数值和另一个极限。让我们看看会发生什么。

这是函数的极限。函数已绘制成图形。这类问题没有给出函数的公式，只是给出了它在图上的样子。当x越来越接近-1时，应该找到极限。另一个负号意味着你是从数字较小的那一边来的，从左边来的。当我这样做的时候，从那里进入-1，你就进入了那个开放的圆圈。现在你不能把这个函数，加上-1，得到结果。结果你不会得到4分。

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但是极限可以让你无限接近公式所不能做到的事情。因此，从左边进来的极限实际上是4。但是从右手边进来，从正方向进来-1，从右手边进来，它越来越低。在这种情况下，结果是+1。你会得到两种不同的结果取决于你从哪边进来。这是一个不连续函数。之后的几集做了很多关于连续性和一个比这更复杂的问题。你以后会想要看看这个，或者如果你对这个有信心的话，现在就去找它，过一会儿再回来。

还有一件事。如果你要找到趋向于-1的极限，并且这里没有给出一点点的正或负，它不是这样的单侧极限。这是一个常规的双面极限。如果从这边进来，得到4。如果从这边进来，得到1。哪一个是正确的?他们都是对的，但他们不可能同时都是对的。所以你必须说极限的2条边在这个点上不存在。它不存在，不可能。当我们讲到这一点时，我还要加上一个我没有写在这里的东西。

如果你把这个函数代入-1呢?你会得到哪个答案?这是那一个。就是实心点。函数的定义是-1，结果是1。导数在2。让我们找2。这是2，就在上面。它的导数大概是2.5。不,它不是。 That's the function value that's about 2.5. What does a derivative mean?

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从第二季度开始，我们可能每天都这么说。衍生品的斜率。虽然我不知道函数是什么，但我可以求出这个点的斜率。这看起来像一条直线，所以，嘿，你的老朋友，上升超过下降。所以这个位置是(3,3)这个位置是(-1,1)。我们想要的这个点，我们想要的斜率是在这两点之间的直线。所以沿这条直线的斜率都是一样的。求两个端点之间的斜率，就是这个点的斜率。我们来算一下。 It'll just take a second.

斜率是你的老朋友，纵移除以横移。当我做斜坡的时候，我喜欢做一个小技巧也许你们觉得我太老了。这是代数1，我们还是做一下。换句话说更容易，即使你已经这么做了很多年了。我喜欢使用的技巧是，每次取一个点，把它放进去。注意这里有一条线，负负。当y = 3时，把它放在上面，在有序对中与它对应的x必须在它的正下方。

当y为1时，在有序对中与之对应的x为-1。3-1等于2。3-（-1）为4，2/4简化为1/2。好了。这是导数在2的值。当x从两侧接近3时，极限。当你从这边接近3时，你得到3。当你从这边接近3时，你得到3，所以极限存在。

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您可以对仅在函数中工作的位置进行限制。你看到的足够像这里的点了，当你从左边或右边接近2时，你得到的实际函数值大约是2.5。所以限制是2.5。你通常不会费心去做极限，除非是在一个不可能的地方。这很容易。这是一些你可能已经忘记的东西。

为了求导，它必须是连续的，也就是所谓的可微的。为了是可微的，点两边的斜率必须相同。我给你一个可以用的地方。这里的极限，斜率是成立的因为当你靠近这个点时，斜率是1/2。从右边开始，斜率仍然是1/2。无论哪个方向斜率都是一样的。所以导数存在。

但在这边，当斜率是3时，如果从这边来，斜率接近3是1/2从这边来的斜率可能是-1。在这个尖角的两侧有不同的斜坡。这意味着它不存在，你不能在这个点求导。导数不存在。你会在绝对值图中看到这些。你不能对绝对值图在它转过来的那一点求导。

下一个问题，我们将要做的是混合袋的问题，使后半部分的这一集，是线性近似。现在，你可能已经在微积分课程中学习了牛顿法。你可能已经做到了。牛顿法是一种利用曲线的局部线性近似求零点近似的方法。我在AP微积分课上教过，但你可能没见过。如果你没有，别担心。他们在AP测试中没有牛顿法。

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上面没有，也不会包括在明亮风暴课程中。你不会需要它的。现在很少用了，主要是为了理论。因为它可以用图形和计算器更快更准确地完成。但是，你可能会得到一些更简单的东西，像这样，你知道一些东西是可微的。你得到了一些关于函数的数据但实际上没有给出函数。你需要估算g(2.9)是多少，通过假设这条线与实际值很接近。我来给你们展示一下。

画一个图表。你们不需要用图来解题但它对于理解发生了什么是至关重要的。我们知道这经过(3,17)这是曲线上的一个给定点。我不知道曲线的形状，我们永远不会知道，因为我们没有给出函数。但我们确实知道一些关于它的事情。我们知道3点的斜率是-5。所以当它经过这里时，它应该向下很陡，就像这样。但在那之后，谁知道呢?也许它会上升一点，然后像这样。我知道我有一些重叠所以技术上它不是一个函数，但现在先忽略它。 I just need some clear space to show you what we are going to be doing.

假设2.9在这里。这是实际的2.9,f(2.9)它是实数，我们永远也得不到因为我们不知道函数是什么。我们要做线性近似。如果你从这个点开始画一条线，你会得到一条与曲线相切的线，这条线的斜率是-5。

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把这条线固定一下。这是切线。我们会在这里找到这个位置，它的x坐标是2.9。y坐标可以通过直线的斜率得到。快起来，你代数1课的老朋友。我们把它填进去。

斜率等于坡度除以坡度。填上数字。你会说，我不知道斜率。是的,你做的事情。导数给出了斜率。这个点的斜率是-5。填补它。从这里到这里的上升量，上升量是未知的。我们必须解决这个问题。但是我们可以用已知的信息找到运行。 Rise is unknown.

对于运行，我们将从位置3到x位置2.9。所以这是-0.1的运行。填上这个。现在我可以通过将两边乘以-0.1来计算出上升，这告诉我，在这上面的上升将是+0.5。所以它上升了0.5。当x为3时，这是17，当x为2.9时，线性近似值高出0.5或17.5。

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所以我可以写下这个，我可以写下g（2.9）大约是17.5。知道他们是怎么说那个落后的诗人的吗？他们说他们写的是相反的。说真的，相反。你看到的问题是这样的，它们不会告诉你它是逆的。他们只会给你一个重要的线索，你在处理一个相反的问题。这就是线索。它说g（f（x））等于x。换句话说，如果你取x，把它放到f公式中，你会得到一个结果。然后，如果你得到这个结果，并把它放在g公式中，你就能得到你原来的数字。因此，这些函数相互撤销。

第一部分很简单，一旦你意识到你在处理一个逆。如果把7代入g公式，得到9。f公式是逆的。这意味着如果把9代入f式，得到7。不需要工作。好了，第一个答案。

第二个答案，有点难。我们应该找到f'（9）。现在，这个特殊的公式是可以推导出来的，我很乐意为你们做这件事。但是，A，我们没有时间，B，你没有时间，因为如果你在AP测试中看到这个，对不起。你没有时间计算出推导式。我真的建议你记住这件事。它说的是，如果你想在一个特定的位置找到一个函数的导数，你可以把这个特定的位置放到原始函数中，然后把这个结果放到它的逆函数的导数公式中。再做一次，你就得到结果了。那么，让我们这样做。

在这些问题上系统化确实有帮助，因为这很容易扭转局面。

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但如果你是系统的，每次替换一个数字，这真的不是坏事。我们特别想要f'(9)我们需要得到g'(f(9))注意，我把x放到了这里的最深处。这个需要几个步骤。明白我说的系统化是什么意思了吧。f(9)我知道。是7，我刚发现是7。这意味着我可以用g'(7)替换g'(f'(9))F(9) 7。 We're almost done. g'(7), that's 11. There you have it.

接下来的几集将包括基本操作和更多这些不寻常的问题。你们很可能在考试中看到更多奇怪的问题。不过要注意，整个测试并不都是奇怪的棘手问题。有些问题很简单，尤其是在选择题部分。不要惊慌，不要认为所有的问题都是不寻常的，你还没有做过很多。

好吧，在我们走之前，当你学完这门课的时候，你会意识到，我只是喜欢真正蹩脚的笑话，真正蹩脚的笑话。那么，我再给你一个。你知道他们怎么说那只跑过马路的鸡吗？哦，就像家禽在动一样。
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