AP技巧，第二部分

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说实话，我们今天所做的一切都不是恶作剧。我是说这是真正的数学，是好东西。但是今天我们要给你们看一些东西你们可能在微积分课上见过太多了。现在我们从微分方程开始，你们肯定做过。微分方程是曲线上在x y坐标上斜率很大的方程。积分速率可能不同。积分速率问题，微积分教科书中通常没有讲到。如果你还没有开始AP复习，你可能从来没有见过这些。这就是我们这节课要讲的内容。

在我们开始之前，我有一个很好的笑话。如果你学的是政治科学，你会知道一些封建制度，国王和民主制度。但要记住的是，在民主制度下，你的票才算数，但在封建制度下，你的票才算数。

基本上微分方程就是包含斜率，导数，作为方程的一部分。让我们看一看。你可以看到，你得到的方程不仅仅是y等于，而是y'等于。这就是把x坐标和斜率联系起来。让我们来看一个特殊的例子。

它说的是求特解，从y=f(x)到y'=3x²初始条件是y(1)=10。初始条件其实很重要。因为结果是有无限个可能的解而他们只想要一个。我来告诉你们无穷解是怎么来的。

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记住，y'是导数，首先要去掉质数，用莱布尼茨符号代替。这就是这里所做的，y'等于dy/dx。现在，我们要消去导数。怎样才能去掉导数呢?积分，我们要做积分。我将从分离部分开始。这些被称为可分离变量微分方程因为我们可以很容易地得到一个点在这个点上它可以被分离出来做积分。两边同时乘以dx，得到dy=3x²dx。

现在，我想消去微分，所以我要对两边积分。这边是关于y的积分，这边是关于x的积分，dy的积分是y, 3x²的积分很好很简洁。也就是x³。但是记住，当你做积分时它不是定积分，你有你的老朋友加上C，积分常数。这就是初始条件的作用。因为，不管这个常数是多少，如果我们对它求导，它就会消失方程就会变成这样。这就是为什么有这么多的解决方案。因为常数可以是你想要的任何东西，它被称为方程族。

我们快完成了。我所要做的就是用这些数据来求出C是多少。我把y代入10,x代入1，所以10等于1³+ c，我只是用了这个方程和那个数据点。这很简单，C等于9，我们得到了解。

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这个特解是y= x³+9。现在我们来做点难一点的。这个问题要求我们求出y=f(x) ^ y' (y-2x=0)的特解，这又是初始条件。回想一下我们走过的路。

我们要通过积分来撤销导数但在这之前，我们要分离。我们要把y'换成dy/dx。所以这个微分方程有dy/dx (y-2x) =0。分开的意思是，一边是x和dx，另一边是y和dy。

首先，两边同时加上2x。这是2x，这里是dy/dx乘以y，我要把它的顺序颠倒一下，你们马上就会明白为什么。y等于dy/dx。

现在我们得分开了。两边同时乘以dx。现在我们分开了。一边是ydy，另一边是2xdx。是时候积分了。我们要做ydy的积分等于2xdx的积分。

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y的积分，比y的1次方多一次方就是y的2次方。我们有y ^ 2我们需要一个修正因子，因为当我对y²求导时，我得到2y。所以这里需要1/2的修正因子。1/2的修正因子也会撤销这个式子得到x²。

现在我做了一些不定积分，所以我需要积分常数。你不需要两边都是常数因为常数相加就能得到另一个常数。只要我们对常数做了很多处理，就可以忽略另一边的常数。上次我们在代入初始条件之前解出了y。这次会更简单一些如果我们现在把初始条件代入，在做平方根之前。

我要做另一件事。我们把这一半消掉。两边同时乘以2。这是另一个关于积分常数的小技巧。2乘以1/2乘以y²等于y²。等于2x²加上，这是两个积分常数。因为我们还不知道常数是多少，我可以说所有这些是C1 2乘以C1是常数2。我把y代入4，它等于2乘以-1²加上常数。

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所以我们有2 * 1，这是2，这是16，两边都取，看起来我们的常数是14。我们差不多做完了。代入这里我们有y²= 2x²加上常数14。两边同时开根号，得到y = +/-√(2x²+14)正负有两个解。你怎么选呢?

再看一遍初始条件。看f(-1) = +4，结果是正的。如果根号前面有个负号，就永远得不到正数。因此，我们要忽略正负，把它去掉。正解是有效的解。

现在让我们再看一个小细节。你可能会在AP考试中看到这样的东西，你会想，“哦，我的天哪!这看起来很可怕。”不，这实际上是世界上最简单的问题之一。它要求我求出斜率和微分方程。斜率是y'你实际上只是被要求代入它来求出特定点的y'是多少。

如果我解出y'就得到y'=2x/y。看，把数字填进去。所以y'在这个特定的位置，必须是2x = 4，在这个位置y = 3。

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我们看一下，它可以依赖于x和y，这是可能的。结果是8/3。

我继续前进，我现在想把齿轮换到与微分方程无关的东西上。综合费率实践。现在你看到这个字率，你会想，“天哪!我知道什么是利率。”你看着这个问题，然后说;一个水箱在t=0时的容量为1000加仑。油箱装满的速度由某某给出。所以你们想:“哦，男人!这是一个相关的利率问题。”但事实并非如此。

这类问题在微积分教科书中并不常见，但一旦你意识到这是怎么回事，做起来就不难了。现在，记住什么是速率。速率是某物积累的速度。你如何积累一些东西?用积分。速率是斜率，斜率是导数，积分消去导数。

我们要做的第一件事，是建立完整的速率方程，因为题目只给了我们一部分。题目告诉了我们液体加入的速率。所以它的速率是40t, 40乘以时间，乘以cos (5t²)/500。所以液体以这个速率加入。这是一个变化的速率。但与此同时，底部的排水管打开了，每分钟流失120加仑。

所以我们要减去120，这个速率是个常数。总是120。现在，我们需要建立积分。当我们这样做的时候，我们要对这个速率积分。

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我们要在一段时间内对它积分，我们积累的是液体。它是从0到10。现在我们来看看这个积分。你可以手工做这个积分。我的意思是，你有5t²，这里有一个40t，你可以用替换积分。但是你们更有可能在AP部分考试中看到这类问题在这里你们可以使用计算器。如果可以用计算器算一下。如果你被允许使用它，它会提高你答对问题的几率。使用它吧。

这里我就不详细讲了因为有很多不同的计算器。用计算器，我要做的就是把这个方程写在图上，然后用一个积分函数以0和10为极限。你必须探索你的计算器，找出它是如何计算这种事情的。

当我这样做的时候，我发现，我们积累了483加仑。让我们回头看一下，我们还要看最后一件事。

这个容器的容量是1000加仑注意，我没有用这个。我还没用过。我没有这样做的原因是，液体加入的速度，累积的量，和开始的量没有关系。没有，所以不包括在房价里。我最后用了它。刚加了483加仑，开始是1000。所以10分钟后，水箱里有1483加仑。

如果你仔细看这张图，你会注意到，在最初的几分钟左右，实际上液体是向下的。一开始是1000加仑，在一段时间内，它被抽干的速度比注入的速度快。

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如果一开始就没有足够的液体，可能会导致并发症。假设一开始是20加仑，在它被填满之前，它被排到0。但是在AP考试中我们不用担心这些复杂的问题，他们不会出那么复杂的题。你不用担心会漏过底部。

现在我们将尝试第二个问题，它有额外的详细说明。这是用中值定理对速率积分。在这些问题中有几个关键词需要注意。在讨论这个问题之前，让我们再看一下中值定理。

中值定理，它可能值得记住，因为你可能会在考试的多项选择部分看到它。它的意思是，如果对一个面积积分，然后除以面积的宽度，就能求出均值。至于我自己，我的记忆能力很差。我一直记得它的作用。

它所做的就是，建立一个矩形它的面积与积分的面积相同。假设a在这里。为了方便，我们把它放在这里。我们把B写在这里。如果你做这个积分你会发现曲线和x轴下面的面积。均值实际上就是与底宽相同的矩形的高。(b-a)也就是它们之间的距离，就是底边的长度。和这个积分面积相等的矩形，可能比这个大一点，大概有这么高。所以这个矩形的面积和积分的面积是一样的。矩形的高度就是均值。

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现在回到问题上来。它说的是水在管子里流动的速率单位是加仑每分钟时间不能等于0。你不能让时间等于0因为它没有定义。问题是t=1和t=5之间的平均流速是多少。

你可能真的会说，“你知道，我只要在这里代入1就能求出速率，在那里代入5就能求出速率，我们就可以开始了。只要加除以2。”如果你这样做，你就会得到错误的答案，如果这是选择题，答案很可能会等着你来陷阱你。他们总是把常见错误的答案填进去。不，我们还是要积分。

这里的关键词是比率和平均数。还记得在上一题中，我们做的是，我们做了一个速率的累积来计算有多少被加入到容器中。如果我们用它除以它进入容器的时间，我们就得到了平均流速。这就是我们要做的。

对于这一题，我们要做从1到5的积分，这是时间跨度，我们要求的是10/t²。我把这个写成量，就是加起来的量。最后我们用它除以发生的时间。

你可以把1 / (b-a)放在这里，这样它看起来就像中值定理。但如果你知道发生了什么，就不需要这么做。在积分之前我要重写一下这个积分。你可以在头顶上做这个。但如果你不能，记住t²(分母)等于t (- s)(分子)

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所以我们有10t的-2次方dt -2次方是-1。得到-10t ^ (-1)这个负号来自于修正因子，因为如果对t ^(-1)求导就会得到t ^ (-2)这里的负号是对的。积分的极限是1到5。让我们继续完成这个，我们差不多完成了。

所以我要把前面的-10作为一个因子，这可以节省一点时间。t的-1次方是1/t。代入5，得到1/t =1 /5 - 1/t, t=1 /1。所以1/5 - 1等于-4/5乘以10，得到+8。最后一步加了8加仑。

加入的时间从1分钟到5分钟，所以平均速度就是加入的8加仑，除以加入的时间，也就是4分钟。所以速率，8除以4是2加仑每分钟。

这一集涵盖了两个非常不同的主题，微分方程和积分率问题。你很可能会在AP考试中看到它们，一定要学习它们。关于积分速率问题还有另一个发现，叫做总距离问题。但是我们会在另一集讲到这些。