AP技巧，第五部分

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AP技巧5，本集将展示一些更专业的问题，旨在测试你的微积分理论知识。我们吗?我们会看一些关于斜率场的问题，关于测试你是否理解什么时候需要用到链式法则和乘积法则的问题。涉及微积分第一基本定理的问题，和涉及微积分第二基本定理的问题。但在我们开始之前，我?我要给你看这个。这是世界上最好的也是唯一的微积分技巧。

这是一个笑话。要理解这个笑话，你必须会微积分。我吗?i’我给你一些建议，首先是你?我们需要积分。第二，每一个符号代表一些单词或仅仅一个单词。最后，一旦你?我把它积分了，你知道它这个词了吗?这是一个常见的短语。看看你认为你的奖金资料?我明白了，你呢?我把溶液放进去。

用桌子来区分，你呢?在考试的非计算器选择题部分，我们很可能遇到这类难题。现在他们吗?我们的目的是看你是否真正理解什么时候需要使用链式法则，乘积法则，或商法则。他们不?T给出了函数。所以你可以吗?不要只是说，嘿，我知道怎么做，然后就开始做这个函数。用乘法法则求出方法的导数。

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不。你需要做的是意识到它是什么，直接推导出乘法法则，然后从表中代入值。他们吗?我们总是要求你在一个特定的地方这样做，因为你可以吗?在不知道函数是什么的情况下用一般函数来做。这里有个问题，他们?我通常用其他函数来定义一个函数。在这种情况下，h(x)被定义为f(x)乘以g(x) + 8。然后是h'(2)换句话说，h在特定位置的导数，在特定位置的斜率。

退后一秒，想想这是什么。如果我们吗?我们要做这个导数，我们要对这里的所有东西求导。这里所有的都有乘法。乘法法则是什么?产品的规则。因为这些是吗?T只是简单的数字，这些是函数。包含x的函数。如果它们是含有x的函数，这意味着求导需要用到乘法定则。

来复习乘法法则吗?我们要对第一部分求导，乘以第二部分的非导数。加上第一部分的非导数乘以第二部分的导数。当我写出来的时候，我?M要消去x吗?S替换掉2? S。因为我们吗?我们要在一个特定的点上找到它。

我们要求出h'(2)它等于第一部分的导数。了吗?sf '特别是2乘以第二部分的非导数。也就是g(2)在这个位置，加上8。

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注意到吗?T对8做什么?it’因为我没有?T对这部分求导。所以我把它写下来了。乘法法则的下一部分，加上第一部分的非导数，也就是f(2)乘以第二部分的导数。第二部分是g(x) + 8。它的导数是g'8没有了，因为8的导数是0。

我们有g'(2)如果你决定把f(x)分配到这里。然后求导很好你会得到和我们一样的答案?你会得到，用I?向你展示。现在吗?S时间对于表格，表格告诉你可以替换什么。对于x的这个特定值，它给出了f的函数值，f'的导数值等等。填好这些数字，好吗?快完成了。

F'(2)等于-3 -3乘以g(2)等于4加8。我们不?这里不需要替换任何东西。加上1/2(2)等于5乘以g'(2)g(2)是7。太好了，我们完成了。只需要做一点添加;相乘得到h'(2) = -1。现在我们吗?我们再做一个，下一个就需要链式法则了。

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我之所以知道这个会用链式法则，是因为?这是函数的函数。如果你要计算其中一个。你要做的就是把x代入一个数字，然后用函数g求值，然后用这个结果代入函数f，得到最终结果。注意到这个表格有点大，因为?S会得到更多的部分。记住链式法则要求对外面的部分求导。然后乘以内部的导数，内部是g(x)把它写出来。我们再一次?这次你要在一个特定的地点做吗?5点。

h'(5)要求我们对外部部分求导?s f，外面部分和里面部分的导数。还记得我们吗?我不会对它做任何事。对于导数部分，不需要考虑这部分，所以这里必须有g(5)乘以内部部分的导数，那么?s g”(5)。我们吗?快完成了。我知道这看起来让人困惑，但它确实是链式法则。

这个需要2步不像上一个，因为我?M必须代入g(5)和g'(5)然后再做一步替换。所以f'不?T消失了，但是g(5)根据表格是1。这里没有等号，乘以g'(5) g'(5)等于8。

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这就是为什么你需要在表格上的第二行。我们要做f'(1) not 5。因为1是将5代入g(x)得到的结果。f'(1) = -1，差不多完成了。我们有-1乘以之前的8最终结果是-8。

现在注意到吗?S表中我们没有的很多数字?T使用，你只需要处理它。他们给了你满桌的座位，这样他们?关于该做什么，我没有给你太多提示。

关于斜率场，需要记住的是，它显示了函数可能到达的所有位置。他们首先给出一个微分方程微分方程包含了位置和斜率。你可以用这个微分方程来表示斜率，在图上很多不同的地方。当你开始一个斜率场，它?S不会给出微分方程的任何特解。它会显示出所有可能解的方向。让吗?让我们看一看。

这个问题要求你画出斜率场的草图并求出f(0) = 7时的特解。这是微分方程。它吗?S表示斜率总是x值的两倍。有时这些微分方程通常包含x和y，这次只包含x，如果你?如果让你自己画斜率场，而不是看着一组斜率场然后决定哪一个适合微分方程，你呢?我只给你几个位置，你呢?我们要求出斜率场。

所以我们吗?S看，我们有这个位置(1,1)(0,1)(0，-1)

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我们吗?“我再做几个就行了。(0,2)(-1, 2)你赢了吗?I don’我通常不需要做很多这样的事，对吗?M要填进去，9个。我们可以吗?T也在轴以下我们再做一些。一旦你开始，它们就会很快消失。我吗?我将把它组织成一个数据图表，并不是说你们一定要这么做，因为你们通常可以心算。但我想给你们具体展示一下?m。

这个公式要求你通过知道x求斜率，所以这个数据图中有x和dy/dx。你可能需要一个包含x和y的数据图表，如果要求dy/dx都需要x和y。当x = 0时，2乘以x也是0。这就得到了一些可以画在图上的斜率。你要做的就是画出一小段直线，来表示曲线的走向。当x = 0时这在这3个点上都发生了，我们画的这一小段曲线是水平的。斜率为0。

让吗?S选择另一个值，当x = -1时也要这样做。当x = -1时，2 * x = -2。所以在所有x = -1的地方，我要画一小段斜率?S是-2的斜率，很陡。我们吗?S -1的斜率是这样的-2大概是这样的。让吗?S画出来，斜率是-2。

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当x = + 1 2 *(+ 1) = 2，斜率为+ 2。现在来吗?S画出来，斜率为+ 2的一小段。我现在可以再多填一些。尤其是在这个案例中?T一定要用y吗?S来计算斜率。如果还要用x和y来计算斜率，会怎样?它不像上下复制图案那么容易。你吗?D实际上需要用到一个特定点的两个坐标来求斜率。但不是这个，这个更简单

你吗?我当然会在奖励材料中找到另一个。一个同时使用x和y坐标的方法。这是斜率场的草图。现在来吗?S继续做微分方程。

我们在另一集讲过如何解微分方程。所以我?我很快就会讲到这个。记住，基本步骤是分离和整合。分开的意思是你想把所有涉及到x和dx的东西放在一边，把所有涉及到y和dy的东西放在另一边。

所以我?M两边同时乘以dx得到dy = 2xdx。现在，把它们分开，我可以对两边积分。dy的积分等于y, 2x的积分等于x²?很容易。加上积分常数。积分的常数是我们需要初始条件的原因。这个微分方程给出了一系列抛物线，可以是高的，也可以是低的。当我把它放到斜率场上，马上你?I’我明白我的意思。

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它吗?f(0) = 7很容易算出来你可以心算。当f(0) = 7时，y代入7 x代入0常数必须是7，很简单。特解的微分方程是y = x²+ 7。所以它吗?S是一条基本抛物线，它的顶点是。让吗?S回去把它画在图上。

斜率场很酷的一点是，一旦你确定了位置，初始条件是什么?甚至需要找到微分方程来画出函数的草图。7大概在这里，我再画一些斜率场。我们吗?我们这里没地方了。现在你?我们会看到它的形状，它必须经过初始条件7。然后沿着曲线。沿着那些小斜坡段走。我吗?我在下面这里再画一个。

如果初始条件是2，它会像这样。你吗?我经常会被要求在斜率场上画一个草图。

你吗?我会一直用微积分第一基本定理。它吗?S证明了做一个积分然后代入特定的值，来求这些位置之间的积分值。或者说，求出这两个位置之间曲线下方的面积。尽管你一直在用它，你呢?你可能会在哪里遇到一些问题?我们被要求认识第一个基本定理是什么。然后把它用在你?你们不习惯吗?我试试。

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在那之前，我们?我会做一点复习。第一个基本定理，现在在这里。第一个基本定理说的是，当你取一个函数，求出它的积分后，你可以代入积分限来求出这个积分的具体值。大写的F表示函数F的积分，有时你?我看到它是这样写的。有时你会看到它写成这样。在这种情况下，其实是一样的。这个说的是函数的导数的积分就是把这些值代入的函数。你可以看到，只要做好心理准备。

我吗?M要做一些推导来帮助我们解决这个问题?你要做什么?我写下了第一个基本定理的这个版本。其中F表示常规函数的积分，即不定积分。现在为了推导出一个公式，我把t放在这里，这样我就可以用x作为上限。我吗?下限M趋于0。

如果你这样做a?S被0取代?年代,b ?S被替换成x? S。最后要做的是，用这个方程解出f(x)通过两边同时加上f(0)单独得到f(x)现在如果你停下来思考一下，这实际上只是我们在AP技巧4中做过的事情的一个变体。也就是把函数定义为积分。

记得我们这么做的时候，你所做的是，你看一个图求到某一点的积分，然后在初始条件下加上它。在这儿。这部分证明了求0到x之间的图的面积，然后加上初始条件。

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不同的是，现在我们不用图表来做了，我们?我们要用一个自然函数来做。这个题目让你写出不定积分，这是F的积分的另一种说法，所以不定积分就叫做F，在这里?S是初始条件。我把公式抄下来了，你最好记住这个东西。你也吗?每次都要做什么求导呢?年代就记住。它也会出现在记忆卡上。

一旦你有了它，这是非常快的。我吗?我们有从0到x的积分，现在我把它写成f(x) = sinxi ?M会代替x吗?s和t ?S，这样它就可以对不同的变量进行积分，而不是最终公式中的那个变量。所以我?把sin (t, dt)加上。我知道初始条件，所以我不妨现在就把它代进去?年代3。它等于F(x)也就是F的不定积分。

做完了，sin的积分是cos。我们有cos (t)从0到x，加上之前的3。等于大写的F(x)现在我要代入0和x，这就变成了cosx - cos0。唐?T假设0消失了。这是一个没有的地方。

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加上3等于F(x)差不多完成了。cosx是一个变量可以吗?T对它做了什么，但是cos0呢?年代常数。cos0等于1。所以我们吗?我们得到了最终结果，F(x) = cos (x - 1 + 3)也就是+2。

微积分第二基本定理，是说导数是积分的倒数。上面说他们互相撤销了对方。所以涉及到第二基本定理的问题，通常都需要做一些替换。让吗?年代看。

这道题要求你取一个函数，它是以积分的形式定义的然后求它的导数。好吧，很好，导数就是撤销积分，所以你会想，很好，它只是撤销积分我的答案是3t ^ 5 + 9。但它不是吗?t。还有一件事需要注意，链式法则。

现在,我呢?I’我要向你展示如何从长远的角度做这件事，然后我?我要用你真正应该用的方法来做，用捷径。更长远的方法是，你处理这个积分，这个积分是让的?年代看到的。3t ^ 6的积分是t ^ 6，换句话说就是½t ^ 6。

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9的积分是9t，不是90。你能看出来我喜欢裤子?总是不好的。那么你呢?把D代进去。你吗?D代入4x，得到1 / 2 (4x ^ 6 + 9 * 4x -，现在要代入8。所以我?D有1 / 2 * 8 ^ 6 + 9 * 8。很好，得到积分了。我把它写在导数后面，但实际上这是我刚刚做的积分。 Capital F(t).

那么我们呢?我们要找出f'是什么，换句话说，求这个积分的导数。狡猾的事情就发生在这里。所以我们吗?S说你做了这个过程，你做了积分现在你通过对它求导来撤销这个积分。4x的6次方不仅仅是x的次幂。也就是说，它需要链式法则。是的，它实际上是变化的。哇,那?S是捷径的来源。

如果你不做所有这些步骤，你必须意识到你必须用链式法则乘以你的答案。对于8，现在看1 / 2乘以8的6次方加9t等于8，是吗?它只是一个数字。它吗?S是一个常数，当你求它的导数时，它就消失了。那么8没有?什么都不用做，只有4x。

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现在是最快的方法。这才是你真正想要的方式。和它吗?这就是你需要知道的方法。因为当你在考试中看到其中一个的时候，很有可能他们?我们不会给你一个可以像这样简单地积分的。他们吗?i’我给你一些你能给的东西。t积分。换句话说，你可以吗?如果不理解积分和导数是相反的，就不能解题了，你必须使用链式法则。

所以，你现在要得到我的答案，只需要说出来吗?年代f (x)。我知道吗?S f'(x)而不是t，因为?S an x是其中一个极限。我只需要用3把t换成4x，上面还有一个5次方，加9，所以我做了替换。但这个量需要乘以链式法则因子。链式法则因子是4x的导数，也就是4。

这个相当大，所以我提前算出来了。我们要做4x的5次方然后乘以3等等。我发现这个的结果是12288x ^ 5 + 36。还有一种可能的变化。对于这个问题，变量是积分的上限。如果这个变量是积分的下限，如果4x在这里，那么如果你做积分，这就是这部分。

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变量部分就是负的部分。你呢?D必须取这个结果然后取它的负数。那，请击鼓，这是AP技巧的全部内容。在我走之前，我还有一个有趣的笑话。什么?当有人告诉你一个很蹩脚的微积分笑话时，什么是正确的反应?让我演示给你看，长官。嗯明白了吗?是的。