AP技巧，第一部分

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我们现在要继续看一些不同寻常的问题，那些不太直接的问题。求导数，求积分。但你必须退一步思考理论来弄清楚发生了什么。

我的课程里有很多这样的东西，很多都包含在AP技巧这一集里。AP技巧2 3 4等等。它们不是真正的把戏，它们不是噱头。它们确实有意义。但是你们需要做好准备，因为这不是你们在学习微积分时做过很多的题目。通常，在一门典型的课程中，直到AP考试的最后阶段复习，你才会做这些。

这里有一个。这个问题没有大量的理论，但它是今年早些时候出现的。如果你们是在4月或3月上这门课，你们可能已经忘记了一些东西。在这个问题上，我有一个图我要求你们找出一堆不同的极限导数值和另一个极限。让我们看看会发生什么。

这个是函数的极限。函数被画出来了。对于这类问题你没有给出函数的公式，你只知道它在图上的样子。求x越来越接近-1时的极限。另一个负号意味着你从数字较小的那一边进来，从左边进来。当我这样做的时候，从这里到-1，就得到了这个开圆。现在你不能取这个函数，代入-1，然后得到结果。结果不会是4。

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但是极限让你无限接近公式做不到的东西。所以从左边进来的极限是4。但是从右边来，从正的一边到-1，从右边来，它越来越低。在这种情况下，结果是+1。你会得到两种不同的结果取决于你从哪一边来。这是一个非连续函数。后面的几集讲了很多关于连续性和一个比这更复杂的问题。你以后会想去看的，或者如果你对它有信心的话，现在就去找它，然后再回来。

还有一件事。如果你要求极限趋近于-1，这里没有正负关系，它不是这样的单侧极限。这是一个常规的双面极限。如果从这边进来，就得到4。如果从这边进来，得到1。哪一个是正确的?他们都是对的，但他们不可能同时是对的。所以你必须说极限的2边在这个点不存在。它不存在，不可能。当我们讲到这一点的时候，我还要加上一个我没有写在这里的东西。

如果你把这个函数代入-1呢?你会得到哪种答案?就是那个。就是那个实心点。函数定义为-1，结果是1。导数是2。让我们找出2。这是2，在上面这里。它的导数大概是2.5。不，它不是。 That's the function value that's about 2.5. What does a derivative mean?

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从第二季度开始，我们可能每天都在说这种话。导数是斜率。尽管我不知道函数是什么，但我可以求出这个点的斜率。这看起来像一条直线，嗨，上升比跑高，老朋友。所以这个位置是(3,3)这个位置是(-1,1)我们想要的点，我们想要的斜率在这两点之间。所以沿着直线的斜率都是一样的。求端点之间的斜率，就是这个点的斜率。我们来算算。 It'll just take a second.

斜率是我们的老朋友，上升比上升。当我做斜率的时候，我喜欢做一个小技巧也许你会觉得我太老了。这是代数1，我们还是做吧。即使你已经做了很多年了，你也更容易得到一些翻转的东西。我喜欢用的技巧是每次取一个点。注意这里有一条直线，负负。当y = 3时，把它放在上面，在有序对中与它相关的x必须在它的正下方。

当y = 1时，x对应的有序对中的x是-1。3-1等于2。3-(-1)等于4 2/4化简成1/2。好了。这是导数在2处的值。当x从两边趋于3时的极限。当从这边接近3时，得到3。当从这边接近3时，得到3，所以极限存在。

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你可以对函数中起作用的地方求极限。就像这个点，当你从左边或右边接近2时，你会得到一个实际的函数值大约是2.5。所以极限是2.5。你通常不需要做极限，除非是在不可能的地方。这很容易。有件事你可能忘了。

为了求导数，它必须是连续的在可微的范围内。为了可微，点两边的斜率必须相等。我给你一个好用的。这里的极限，斜率是成立的因为当你靠近这个点时，斜率是1/2。从右边开始，斜率仍然是1/2。两边的斜率都一样。导数在这里。

但在这一边，当趋近于3时，如果从这一边开始，趋近于3的斜率是1/2从这一边开始趋近于3的斜率可能是-1。在尖尖的两侧有不同的斜坡。这意味着它不存在，你不能在这个点上求导。导数不存在。你们通常会在绝对值图中看到这些。你不能对绝对值图在这个点处求导。

下一个问题是我们这节课后半段要做的混合问题，就是线性逼近。你们可能在微积分课上学过牛顿法。你本来可以做到的。牛顿法是一种利用曲线的局部线性近似值来求零点近似值的方法。我在AP微积分课上教过，但你们可能没见过。如果你没有，也不要担心。在AP测试中没有牛顿的方法。

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上面没有，也不包括在光明风暴的课程中。你不会需要它的。现在很少用了，主要是理论教学。因为用图表和计算器可以更快更准确地完成它。然而，你可能会得到更简单的像这样的东西，你知道它是可微的。你得到了关于这个函数的一些数据，但实际上并没有得到这个函数。你需要估计g(2.9)是多少，假设这条线很接近实际值。我来给大家展示一下。

做一个图表。你不需要用图表来解题但它对于理解发生了什么是至关重要的。我们知道这经过(3,17)这是曲线上的一个给定点。我不知道曲线的形状，我们永远也不知道因为我们没有给出函数。但我们确实知道一些关于它的事情。我们知道在3处的斜率是-5。所以当它通过这里时，它应该是非常陡峭的向下，就像这样。但在那之后，谁知道呢?也许它会上升一点，然后像这样。我知道这里有一些重叠所以严格来说它不是一个函数，但现在先忽略它。 I just need some clear space to show you what we are going to be doing.

假设2.9在这里。这是实际的2.9 f(2.9)它是真实的，我们永远不会得到因为我们不知道它的函数。我们要做线性逼近。如果你从这个点开始，画一条直线，你会得到曲线的切线这条切线的斜率是-5。

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把这条线固定一下。这是切线。我们要找到这个位置，它的x坐标是2.9。y坐标是通过直线的斜率得到的。上升超过跑，代数1的老朋友。我们把它填上。

斜率等于高度除以跨度。填上数字。你说，我不知道斜率。不，你需要。导数是斜率。这一点的斜率是-5。把它填进去。从这里到这里的上升，是未知的。我们必须解决这个问题。但是我们可以用已知的信息找到轨迹。 Rise is unknown.

从3到x坐标2.9。这是-0.1。把它填进去。现在我可以通过两边同时乘以-0.1来求出上升量这就告诉我这个的上升量是+0.5。所以上升了0.5。当x = 3时，这是17，当x = 2.9时，线性近似是高0.5或17.5。

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我可以这样写，g(2.9)大约等于17.5。知道他们怎么说那个落后的诗人吗?他们说他们写的是逆。说真的,逆。像这样的问题，不会告诉你它是逆的。它们会给你一个重要的线索，你在处理一个逆矩阵。这就是线索。它说g(f(x)) = x，换句话说，如果你把x代入f公式，你会得到一个结果。然后如果你把这个结果，代入g公式，你会得到原来的数。所以函数相互撤销。

第一部分很简单一旦你意识到你在处理一个逆矩阵。如果把7代入g公式，就得到9。f公式是一个逆矩阵。这意味着如果把9代入f公式，就得到7。不需要工作。好了，第一个答案。

第二个答案，有点难。我们要求f'(9)现在，这个特殊的公式是可以推导出来的我很乐意为你们做。但是，第一，我们没有时间第二，你们没有时间因为如果你们在AP考试中看到这个，抱歉。你没有时间做推导了。我强烈建议大家记住这个式子。它的意思是，如果你想求一个函数在特定位置的导数，你可以把特定位置代入原函数，然后把结果代入它的逆函数的导数公式。用1除以它，就得到结果了。我们来做这个。

系统地处理这些问题真的很有帮助，因为很容易出错。

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但如果你是系统的，每次替换一个数字，这真的一点都不坏。我们特别要求f'(9)为此我们需要得到g'(f(9))注意，我把x一直放到了里面。这个需要几个步骤。明白我说的系统性是什么意思了吧。f(9)我知道。是7，我刚发现是7。这意味着我可以用g'(7)替换g'(f'(9))F(9)等于7。 We're almost done. g'(7), that's 11. There you have it.

接下来的几集将包括基本操作和更多这些不寻常的问题。更多你们很可能在考试中看到的奇怪问题。但要注意，整个测试并不都是古怪棘手的问题。有一些简单的问题，尤其是在多项选择题部分。不要惊慌，不要认为所有的问题都是你还没做过的不寻常的问题。

在我们结束之前，当你们学完这门课的时候，你们会意识到，我喜欢非常蹩脚的笑话，非常蹩脚的笑话。我再给你们一个例子。你知道他们怎么说那只跑过马路的鸡吗?就像运动中的家禽。
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