切线与优化

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切线和优化。这是今年早些时候的一个话题，就在你学会如何做衍生品之后。这是一个非常重要的话题。本主题的作用是帮助您找到曲线的最小值和最大值，您还可以找到与曲线在任意点相切的直线。所以我们将从做一点基本的回顾开始。我们将继续讨论一些练习题，然后我们将讨论一些应用程序。涉及优化问题的应用程序。

切线就是它所说的，它是一条直线。看看。这里有一条曲线。切线的特殊之处在于，它只与曲线接触一个点。所以我要给自己选一个地方。好了，这是一条切线它只与这里的一个点相连。

你们从代数1开始就做过线方程，记住它要求你们有一个斜率和一个点。这是一个要点。每当你遇到这些问题时，你都会被告知该怎么说。但我们需要斜率，这就是微积分的作用。

让我们试一下。我们要做两个练习题。其中一个是基本问题，另一个只是稍微难一点。让我们看一看。

我们要找到一条与曲线相切的直线的方程，问题告诉我们它的切线在哪里。我们把它放在这里。

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（-1，-4）好的，有一个切点，切线是这样的。所以看这个，我想可能是2，3，4的斜率或者类似的。但我们不必猜测，因为我们有微积分来做这件事。现在，我们怎样才能得到我们需要的，因为记住，对于一条线，你需要有一个点，你得到了。但你也需要一个斜坡。我知道我以前听过这个，哦，是的。衍生品是斜率。

我们要做的是求直线相切公式的导数，然后看看会发生什么。让我们看看y=x³-3，它的导数是3x²，-3当然是常数，常数的导数是0。

现在这有点好笑，坡度等于一个公式，你从未在代数中的一个。一个是公式的斜坡，你做了一个单个数字的斜率。但那是因为你正在处理直线。这是曲线，这里的斜率是一定数量。这里的斜坡是陡峭的，斜坡就在那里，不是陡峭的。好吧，让我们继续。

同样的问题我们刚刚找到了斜率的公式，我们知道它会经过这个点这就是点斜率公式。任何直线的方程如果有斜率和一个点，斜率很快就会变好。

这个斜率公式只需要我使用x数。所以当x为-1时的斜率是-1的3倍，它只是3。所以我对早些时候斜坡的猜测并不遥远。把公式放在这里。

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所以y减去等于，我总是喜欢这样做，因为只需要留下空白，来代替你要用的。当x是-1，y是-4，把它放进我们的斜率，稍微简化一下，我们就得到了我们的方程。看看我们有什么。我们得到y+4等于3x+3，所以3x，从两边取4，就得到了。这是在那个点接触曲线的直线方程。我们去试试另一个稍微难一点的。

看起来难多了，对吧？这其实并不是很难做到的。另一件让它更难的事情是，我们还没有它经过的点，我们只有一个坐标。但这并不难处理。x等于1，大约在那里，我们知道这个点的x坐标是1，但我们还不知道y坐标。你知道切线是这样的。找到y坐标很容易，你所要做的就是把它放到公式中。让我们试试看。

我们得到y=ln（1+2）-1²。这就是y=ln{3-1）。现在你可以把它作为一个精确的形式。我将用它做一个十进制近似，只是为了让问题更容易。

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它的十进制近似值约为8.1。所以我们有一个我们需要的组件，我们有一个贯穿其中的点。现在我们必须找到斜率，所以我们需要它的导数。这需要链式法则，但是x+2的导数只有1。所以我们可以认为链式规则没有发生。这一个的导数很快就会得到，y'=1/x+2，这是自然对数的导数。而-x²的导数是-2x。我们将进入下一张幻灯片，在那里我已经写出了这一点，我们将继续这个问题。但我们差不多完成了。

这就是斜率公式我们刚刚发现它经过(1,8.1)这是(x,y)坐标。我们要求出斜率，我需要的斜率就是这个斜率。求y'(1) = 1 /(1+2) - 2 * 1 = -5/3。代入，就做完了。

好的，斜率是5/3，再次点斜率方程的原因，还有一点简化，让我们看看。

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我们有y=-5/3x+5/3，两边加上8.1。节省一点时间，我们就把它留在那里。你有5/3作为1和2/3，1.6重复，这很容易简化。

优化是一个非常关键的话题，非常重要。优化总是在AP测试中发生，就这点而言，它实际上是微积分最伟大的用途之一。优化通常意味着你试图找到一个最小值或最大值，一个最好的解决方案。所以这是一个很小的例子，但它有利于开始。

题目问的是，找出两个正数，它们的乘积是612并且它们的和是最小值。你可以用1乘以612，它乘以612，然后和是613。或者你可以做2乘以306乘以它是612，它的和是308。这是一个较小的和。我们想要找到最小值，总之我们不想做这种猜测和检查的事情。当你做优化问题时，有几个基本步骤。

首先要做的是写出基本的，基本的方程。它通常涉及问题的要求。无论问题是要求你最大化还是最小化，这都是你的基本方程。所以在这种情况下，它必须是一个以sum is，sum等于开始的方程。有时你必须写下并替换为第二个等式。所以我要取一个二次方程。然后求一阶导数，然后代入0，求出最小值和最大值。

我们在本期节目中进行优化的原因是，切线是这项工作的基础。

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让我们试试这个问题。好的产品612，两个数字。我需要两个变量的两个数字，所以我可以说我的第一个数字是x。我的第二个数字是y。并添加它们为您提供总和，这是主要方程。这是我们将要做的衍生品的那个。但我们还不能因为它们是两个变量。就此而言，我们不会做出你将期待的衍生品。

所以我必须摆脱变量，这就是次要方程进入的地方。有一点信息我们还没有使用过。在那里注意到没有612，这些数字必须乘以612.所以让我们写出来。x时分y等于612.现在我有两个有两个方程的变量，这意味着我可以将它们替换在一起。我要解决Y的第二方程。所以我可以替代y。

所以y是612除以x，然后我将替换它，然后我将得到一个只有x的方程。我们开始吧。总和是x+612除以x。我们已经写出了我们的主方程，我们写出并替换了我们的第二个方程。现在为了使它最大化，我们需要找到一个在峰值处的地方，斜率为0。让我做一个快速的图表。

如果你画出这个和方程，这个变量就是x。垂直的不是y，而是和。你可以叫它x，但我要给它加上sum。然后它会看起来像这样。

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就在那里，这是最小的。最小的是，这就是我们将找到我们需要的x的X号。所以我们的目标是找到那个地方的x坐标。然后看，因为这是它是水平线的底部。水平线的斜率是多少？0。

我们接下来的两步是求导，然后用0代替斜率，这样我们就能知道坐标是什么。

所以我们要做两边的导数。和的导数是，让我们看看，它的导数是1，612/x的导数是-612/x²。如果需要，记住你可以先把这个612到612乘以x变成负数，这样导数就容易一点。

现在我们知道，这给了我们曲线上任意一个长点的斜率，但我们特别想要这里的斜率。我们写0，用它代替。我现在要做的就是解决这个问题，实际上我们有两个数字。我将把它加到两边，得到612/x²等于1。

两边同时乘以x²，得到612=x²。两边同时开根号，x等于612的平方根。结果是另一个数是一样的因为记住，我们都想让它们乘以612 612的平方乘以612的平方等于612。

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这两个数是根号612和根号612。我们再试一次，像这样。“哦!没有他们回来。”找出一个可以用8x14张纸做成的顶部打开的盒子的最大体积。这些东西可能是你微积分前的宿敌。现在大部分的微积分预备课程都会有这些内容。但是在微积分预备课中你需要用图形计算器来求出答案。现在我们用微积分，你已经从计算器中解放出来了。

让我给你看看这是什么样子。所以你有一张床单，你可以从一个角落里剪多少，剪多少。当你把它剪下来后，你可以把它折叠起来。你有一个盒子，我们有我们的盒子。这个盒子应该有一定的体积。现在没有什么可说的，我必须削减这个数额。看看你删掉的金额，这是一个变量。让我给你看看这里。

你可以把那一边的x和那一边的x剪掉。你必须把方块切掉，这样盒子就可以折叠起来，顶部也可以折叠起来。所以x和x，x和x，但是x是可变的，你可以去掉更多。让我们这样做吧。我必须在所有的角落都剪同样的东西，否则它们不会均匀折叠。现在把这个小家伙折叠起来，突然我们有了一个不同的盒子。它是从同一张纸上剪下来的，但是它更高，而且体积也不同。

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好吧，如果你做一个这么小的切口，你会得到一个非常平的浅盒子，几乎没有任何体积。如果你剪掉很多，你会得到一个很高的盒子，但它没有很大的体积。如果你切出合适的量，就会得到一个体积最大的金凤花盒子这就是我们要计算的。让我们去工作吧。

我们的约束条件是这张纸是8 × 14，所以这边是8，那边是14。我们知道我们要使体积最大化，体积是长乘以宽乘以高。我们观察盒子的长度和宽度。长度和宽度在这里和这里。如果取这个14，然后从这条边切下x，再从这条边切下x，剩下的是14-2x。现在如果我取这个，从这条边切掉8和x，从这条边切掉x，得到8-2x。

我们得到了长度，宽度和高度。长14-2x，宽8-2x，高是x。这是体积公式代入了变量。长乘以宽乘以高。为了节省一点时间，我已经分发了。所以这个公式中y是体积。它是这个形状的体积并且体积有最大值。如果你要画出它的图像，在用图形计算器的时候要小心，因为这些非常高如果你用标准的图形，它看起来不会像任何东西。

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因此，当您设置它时，您要做的就会设置它，以便图形的窗口是关于框的大小。记住我们原来的纸张是8英寸，如果你从这一边剪掉X和X，你可以越来越越来越缩短。但你可以从这一边切断的最多是四个。沿着14层，如果你越来越地削弱了，你可以削减7，但你不能削减这一点。所以四个是你可以删除的最多。那是x，当你设置你的图形窗口时，使其成为四个或宽。这往往是通常为100或200或类似的东西。

图表看起来像那样的东西。峰值在那里，微积分将找到我们的峰值。因此，让我们再次查看我们的步骤。

我们就在那里写了基本方程，我们用我们需要的代入了它。这次我们不需要二次方程，因为只有一个变量。我们的下一步是做导数，代入零，然后我们就差不多完成了。

导数y'，换句话说就是斜率或体积。这将是12x²-88x+112。现在，它可能是因子。如果你在AP测试中允许使用图形计算器，不要浪费任何时间尝试将其因子化。即使是乘积公式，也不要浪费任何时间。只要使用你的图形和计算器就可以了d.P。

如果是在不允许用计算器的情况下，那么它就是可因式分解的，你需要这样做。这个是不需要因式分解的，它们通常不需要因式分解。我提前算过了。

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对于这个，如果用0代入斜率，你会发现x值是1.638，这是其中一个，另一个是5.695。

我们有两种解决方案，但这个问题只有一种解决方案。这张是胡说八道，你不能把它从盒子的侧面剪下来。如果你真的剪下了整张纸，那么就没有什么东西可以用来制作一本书了。这是x值，它会给你最大值。我们通常会问你的问题是，最大容量是多少。

不要在这里停下来，这是多项选择。他们可能会让你这答案是一个答案，看看他们是否可以欺骗你，太早停止。重新阅读问题，它表示定义卷。最大卷是您将其放入此时的目标。因此，在1.638的卷之前提前替换，并将其替换出来，它大约是82.98。

切线，这是一个重要的话题。在这一集中，我们讨论了在特定点上寻找曲线的斜率。我们已经讨论过在这些特定点上求切线方程。你经常会在AP测试中看到问题，他们会要求你找到曲线上切线的方程，甚至是特定点的斜率。它们在多项选择题部分很常见。在自由响应部分，您可能会看到优化问题，也可能不会看到。

另一件重要的事情将在下一集中出现，他们总是要求你在图上找出最大值或最小值。

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图上的最大值和最小值发生在斜率为0时。请收看下一集，你会看到我们更进一步。