AP技巧，第二部分

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说实话，我们今天所做的一切都不是恶作剧。我的意思是，这是真正的数学，这是好东西。但今天我们要展示一些你们在微积分课上可能见过很多的东西。现在我们要从微分方程开始，你们肯定已经做过了。微分方程是曲线上x,y坐标上的斜率。积分速率可能不同。积分速率问题，在微积分教科书中通常没有涉及到。如果你还没有开始对部分课程的AP复习，你可能从来没有见过这些。这就是我们这一集要做的。

在我们开始之前，我有一个很好的笑话要告诉你。如果你学的是政治学，你就会对封建主义，国王和民主有所了解。但要记住的是，在民主制度中，你的投票是重要的，但在封建制度中，你的投票是重要的。

微分方程基本上是一个包含斜率，导数，作为方程一部分的方程。让我们来看一看。你可以看到，你得到了一个方程它不仅仅是y =，而是y' =。这是把x坐标和斜率联系起来。让我们来看一个特别的例子。

它说求特解，这是关于y=f(x)到y'=3x²的一个技术问题初始条件是y(1)=10。这个初始条件非常重要。因为结果是有无限个可能的解而他们只想要一个。我来告诉你们无穷解是怎么来的。

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现在请记住，y'是一个衍生物，开始你必须摆脱primes，并用leibniz表示法替换它。这就是这里完成的，y'与dy / dx相同。现在，我们必须摆脱衍生品。什么消除了衍生品？积分，我们必须做一个积分。我将首先分开零件。这些称为可分离的微分方程，因为我们将轻松地将其分成一个点，在其分开以进行积分。我要将双方乘以DX，我有这个，我有Dy =3xâ²Dx。

现在，我要消去微分，所以我要对两边积分。这一边是关于y的积分，这一边是关于x的积分，dy的积分就是y，而3x²的积分很简洁。就是x³。但是记住，当你做一个积分而它不是定积分时，你有你的老朋友加上C，积分常数。这就是初始条件。因为，不管这个常数是多少，如果我们对它求导，它就会消失，方程就会变成这样。这就是为什么有这么多的解决方案。因为常数可以是任何你想要的，它被称为方程组。

我们几乎完成了。我要做的就是用这一点数据求出C。把y代入10，把x代入1，得到10 = 1³+ c，我只是回去用了这个方程和那个数据点。这很简单，C等于9，我们就得到了解。

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这个特解是y= x³+9。现在我们来试试更难一点的。这个问题要求我们求出y=f(x) ^ y' (y-2x) =0的特解，这又是初始条件。好吧，回想一下我们的脚步。

我们需要通过积分来解出导数但在此之前，我们需要分离。我们要把y'换成dy/dx。这个微分方程是dy/dx * y-2x=0。分离的意思是，你必须在一边得到x和dx，在另一边得到y和dy。

首先两边同时加上2x。这是2x，这是dy/dx乘以y，我把它的顺序颠倒一下，你们马上就会明白为什么。y = dy/dx。

现在我们得分开了。两边都乘以dx。现在我们分开了。一边是ydy，另一边是2xdx。时间积分。对ydy积分等于对2xdx积分。

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y的积分，再加一次y ^ 1等于y ^ 2。我们有y ^ 2，这里需要一个修正因子，因为当我对y²求导时，我得到2y。这里需要1/2的修正因子。1/2的修正因子也会抵消掉，得到x²。

现在我做了一些不定积分，所以我需要积分常数。其实两边都不需要因为常数相加就会形成其他常数。只要我们对常数做了很多，就可以忽略另一个常数。上次我们在引入初始条件之前求出了y。这次会简单一些如果我们现在把初始条件放进去，在开方之前。

我要在这里做另一件事。把这一半消掉。两边同时乘以2。这是另一个关于积分常数的小技巧。所以2乘以1/2乘以y²等于y²。它等于2x²加上，这是两个积分常数。因为我们还不知道常数是什么，我可以说这是C1 2乘以C1是常数2。我把y代入4，这就等于2乘以-1²加上常数。

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所以我们有2乘以1，这是2，这是16，两边都取，看起来我们的常数是14。我们快做完了。代入这里我们有y²等于2x²加上常数14。两边同时开根号，得到y = +/-√(2x²+14)正负有两个解。你如何选择哪一个?

再看看初始条件。看f(-1) = +4，结果是正的。如果这个平方根前面有一个负数，我们永远不会得到正的结果。因此，我们要忽略正负，把它消掉。正解是有效的。

现在让我们再来看一个小细节。你可能会在AP考试中看到类似的东西，你会想，“哦，我的天哪!这看起来可怕。”不，这实际上是世界上最简单的问题之一。要求我求斜率和微分方程。斜率是y'。你只需要代入它求出y'在这个特定点的值。

现在解出y'得到y'=2x/y。快看，把数字放进去。所以y'在这个位置，等于2乘以x等于4，在这个位置y等于3。

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我们看一下，它取决于x和y，这是可能的。结果是8/3。

我往上走了，我现在要换档讲一些与微分方程无关的东西。整合速度练习。现在你看到这个词速率，你会想，“我的天哪!利率，我知道利率是什么。”你看这个问题，然后说;在时间t=0时，一个水箱开始容纳1000加仑。水箱的充注速率由某某给出。所以你想，“哦，伙计们!这是一个相关的汇率问题。”但它不是。

这类问题在微积分课本中并不常见，但一旦你意识到这是怎么回事就不难解了。现在，请记住什么是速率。速率是某物积累的速度。你是怎么积累东西的?与一个积分。速率是斜率，斜率是导数，积分可以消去导数。

我们要做的第一件事，是建立完整的速率方程，因为题目只给出了一部分。题目告诉了我们液体加入的速率。所以它被加入的速率是40t, 40乘以时间，乘以cos (5t²/500)所以液体以这个速度被加入。这是一个变化的速率。但与此同时，底部的排水管是开着的每分钟损失120加仑。

所以我们要减去120，这个速率是一个常数速率。它总是120。现在，我们需要建立积分。当我们这样做的时候，我们要对这个速率积分。

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我们必须将其整合在时间范围内，并且我们正在累积液体。这将是0到10。所以现在让我们看看这个积分。你可能用手一体地完成这一点。我的意思是，是的，你有5九个，有一个40T，你可以通过替代使用集成。但是，您更有可能在AP测试中看到这种问题在您允许使用计算器的情况下。如果您可以使用计算器执行此操作。如果您被允许使用它，它将增加您的问题率正确。只是用它。

现在我无法通过这一步，因为那里有很多不同的计算器。使用我的计算器，我所做的是我在图中输入了这个等式，然后使用与0和10的集成函数作为限制。您必须探索您的计算器，以了解它是如何适用于这种事情的东西。

当我做到了我发现的时候，我们累积了483加仑。让我们回去一秒钟，有一件事我们要看一下。

这个油箱开始有1000加仑的油，注意我没有用那个。我还没用过。我没有这么做的原因是，液体被加入的速度，积累的量，和它开始的时候没有关系。没有，所以不包括在费率里。我在最后用了它。我们刚加了483加仑，从1000开始。10分钟后，油箱里有1483加仑。

如果你仔细看这张图，你会注意到，在最初几分钟左右，液体实际上是向下的。我们一开始是1000加仑，有一段时间它被消耗的比添加的快。

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如果一开始就没有足够的液体可能会引起并发症假设你一开始是20加仑，在加满之前，它下降到0。但我们不需要担心AP考试的复杂性，他们不会给出那么复杂的东西。你不用担心会漏过底部。

现在我们来做第二个问题，它有额外的阐述。这是用均值定理对速率积分。在这些问题中有几个关键字需要注意。在我们讨论这个问题之前，我们再来看看中值定理。

中值定理，可能值得记住，因为你们可能会在测试的选择题部分看到它。它的意思是，如果对面积积分，然后除以面积的宽度，就能求出平均值。至于我自己，我的记忆力很差。我一直记得它的作用。

它所做的就是，建立一个矩形它的面积和积分的面积是一样的。假设a在这里。为了方便，我们把它放在那儿吧。把B写在这里。如果你做这个积分，你会得到曲线和x轴下面的面积。均值实际上就是矩形的高度这个矩形的宽度和底相同。(b-a)这是它们之间的距离，这是底的长度。和这个积分面积相同的矩形，可能比这个大一点，大概这么高。所以这个矩形的面积和积分的面积是一样的。矩形的高是均值。

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现在回到问题上来。它说水管中水流的速率是每分钟加仑因为时间不等于0。你不能让时间等于0，因为它没有定义。问题是，t=1和t=5之间的平均流速是多少。

你可能很想说，我把1代入这里求出速率，把5代入这里求出速率，就可以了。只要加2然后除以2。”如果你这么做，你会得到错误的答案，如果这是多项选择题，那个答案可能就等着你来迷惑你。他们总是把常见错误的答案写进去。不，我们还是得整合。

这里的关键词是速率和平均。还记得在上一题中，我们做的是，我们做了一个速率的累加来算出有多少被加到罐子里。如果我们用这个除以它进入水箱所花费的时间，我们就会得到平均流速。这就是我们要做的。

所以对于这个，我们将从1到5之间进行积分，即时间跨度，我们正在寻找10 /tâ²。我只是要将这个写成这一点，即增加的数量。最后，我们将通过它发生多长时间划分它。

这里可以代入1 / (b-a)这样就像中值定理了。但如果你知道发生了什么，你真的不需要这么做。在积分之前我要把这个积分重写一下。你可以在你的头顶上做这个。如果不行，记住分母上的t²等于分子上的- s的t。

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我们得到10t ^ (-2) dt再加1次幂-2 = -1。所以是-10t ^ (-1)这个负号来自于修正因子，因为如果对t ^(-1)求导就会得到t ^ (-2)这个负号对它进行了修正。积分限是1到5。让我们来完成这个，我们差不多完成了。

所以我把-10提出来作为因子，这会节省一点时间。t的-1次方等于1/t。代入5，得到1/t =1 /5 - 1/t，当t=1是1/1。所以1/5 - 1等于-4/5乘以10，得到+8。所以加了8加仑，这是最后一步。

加起来需要1到5分钟，所以平均速率等于加进去的8加仑，除以所花的时间，也就是4分钟。所以速率，8除以4等于2加仑每分钟。

这一集涵盖了两个非常不同的主题，微分方程和积分率问题。你很有可能在AP考试中看到它们，一定要学习它们。还有一个关于积分速率问题的发现，叫做总距离问题。但我们会在另一集里讲