AP技巧，第三部分

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连续性，当我们?今天已经完成了吗?在这一集里，你对连续性的认识将是无缝的，没有间隙的。我们吗?我在一些剧集里看到了连续性。当我们讨论极限时，我们讨论了相关的概念。当我们做这一集的时候当我们做数据图表的时候，我们使用了一些概念?今天重新使用。但现在我们吗?我们将反过来使用它们。

我们吗?我们将用图形来计算函数的一些数据。最后,我们呢?我们将再次讨论中值定理。你们在AP技巧2中讨论一些问题的时候见过中值定理。在这里积分是有效的。那么你呢?我们会再看一遍的，我们呢?今天我们要用中值定理做一个实际的直接问题。

连续性，极限和可微性。今天我们吗?我们将研究连续性的概念，换句话说，函数是否连通。我们吗?我们要考虑的是可微性，换句话说，你能在这个点求导吗?我们还将关注极限。我的问题?我现在要给你们看的是我们?给定一个小图，你要用这个图来求出在一定数量的位置，哪个是正确的。有限制吗?它是可微的吗? Does the function value exist? Let?s look.

在这里吗?年代你的图表。我们什么?我们要做的就是遍历所有这些位置并检查图像来找出极限是否存在。来确定函数是否连续以及函数本身是否在那个位置起作用，以及它的导数是否在那个位置起作用。

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我吗?M要在这里做一点修正，导数符号很难看到。这个是f'(c)你能看到c吗?我们开始吧。我们首先要检查的位置是x = -3的时候。在它的正上方，有一个开圆。这意味着函数没有?我不去那个地方。

然而，限制可能存在。首先限制。如果你从右边进来，从正数进来，它的极限看起来是+5。但是如果你从左边进来，从左边进来是什么意思?你可以? t。所以在这个特定的点上，极限没有?根本不存在。你必须从两边得到相同的东西才能使极限存在。函数值是否存在?没有,因为它吗?S不是一个实点，你必须有一条实线或者一个实点才能让函数在那里工作。 Finally, is it differentiable? No. if it?s not continuous, it?s not differentiable.

让吗?让我们回去填一些表格。极限不存在，它不是连续的，函数值和导数都不存在。回去一下，我?我要加些什么?我们稍后需要忽略，但是让?S假设它是这样的，它从两边到达开圆。如果它从两边都到达开圆，那么极限实际上是存在的。但函数值还是没有?因为这里有个缺口。

我们吗?我一会儿再看另一个。下一个地点呢?当x = -2时。

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你吗?请注意这里的虚线。虚线表示有渐近线。如果有吗?S是渐近线，函数不是?在那里工作。所以f (c) ?T存在而f'不存在?t存在。如果有吗?有什么缝隙或渐近线吗?T有导数。的极限; the limit is tricky. As you?re going closer and closer to the asymptote the function value is going lower, lower and lower. It keeps on going lower forever to negative infinity.

在这一边，它越来越小，越来越小，一直到负无穷，两边都是这样，都达到负无穷。所以极限一定是负无穷。你能做到吗?T真的达到无穷。所以你真的要说极限不存在吗?t存在。记住这一点的一种方法是，无限是无限的，它永远持续下去。让吗?让我们回去把表填好。极限不存在，是吗?S不是连续的，因为你可以?T通过这里，函数和导数都不存在。 Next location is going to be -1.

1;你吗?在这种情况下，我们会注意到有一个开圆，正上方有一个填满的圆。让吗?让我们先处理极限。如果你从左边进来，函数的结果会越来越接近4。所以这边的极限是4。从右刚体开始，它的高度越来越接近2。所以两边有不同的数。如果限制来自两个不同的方面，不是吗?T是一样的，极限不是?t的存在。 One side of the limit exists, yes. But if it just says does the limit exist, then it?s assumed to be a two-sided limit. So the limit doesn?t exist at that spot.

下一个步骤。

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我们得回去看看它是不是?S连续与否。限制不?t存在。它是连续的吗?不,那?年代相当容易。它需要跳跃，是吗?不是连续的。函数值是否存在?这是棘手的。如果你把-1代入这个公式，不管它是什么，结果是?你会进入开放的圈子，因为它可以?T到达这个开圆。结果是4。 So f(c) really does exist. It?s 4. If you put -1 into the formula you get 4 for the result. Last thing; is this differentiable or not? No. if it?s not continuous it?s not differentiable. So f (c) exists, it was 4. The derivative does not exist, it is not continuous.

让吗?S趋于+1。我们吗?你之所以做这么多是因为可能发生的事情有很多不同的变化，你需要知道不同的组合。在+1处，它在这里?这是一个缺口，是吗?不是连续的。极限确实存在。从左边和右边开始，高度都是+1。所以极限是存在的?s + 1。它吗?s not continuous though.

函数值是否存在?不。在吗?这是一个开圆，上面和下面都没有闭合的圆。导数存在吗?不,它吗?S不连续，那么导数是?t存在。所以这个的极限实际上是1，它不是连续的，f(c)不连续?T存在，导数不存在?t存在。

下一个地点,+ 2。了吗?看起来和这里一样。你吗?有开的圆，闭的圆，这次有吗?没有限制。函数值为3。它吗?它不是连续的，是吗?不是可微。

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在2，极限是什么?“不存在，是吗?”不是连续的。它有一个函数值。你注意到了吗?T还没有为f'(c)填入任何东西。衍生品是敏感的。你根本吗?我通常不会遇到这种情况，因为通常当你?你在做导数，是吗?给定的函数是可微的。我的意思是如果你想在x = 0处求导你可以，因为?这是连续的。 Anywhere where it?s continuous you can differentiate it.

现在如果我们移到+3，在+3处，函数值是-2，它是连续的，它从这里进来，出来没有间隙。因为它吗?S连续，当然也有极限。任何地方都可能出现极限。你根本吗?对于那些你可以把数字代入公式并得到答案的事情，我们通常不会费心去做。你通常是为了不可能的事才这么做的。如果你有一个公式，代入1，它会在那个点得到一个不可能的结果。它没有定义。

有什么是不需要的吗?它的作用是微分。连续性不?t的意思吗?可微的。它吗?不可逆的。如果它吗?S可微，那么它必须是连续的，但是如果?它是连续的吗?T必须是可微的。这是一个无限尖锐的点。 If you come in from this side, the slope is something negative. If you go in form this side, you have a slope that?s positive. So the slope on either side of that point instantly jumps from one slope to another, which means it?s not differentiable.

所以极限存在，它是-2。我们是连续的，f(c)确实存在。是-2，但导数不是?t存在。

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最后一个,4;这个是那个吗?it’它会抓住你的。看这个点，再看这条曲线。注意这条曲线，变得越来越陡。它吗?S在这一点是垂直的。

极限存在吗?对，两边都是3。它从这边接近3，从那边接近3。函数值是否存在?是的,这是3。它是连续的吗?是的,但是它吗?S又不可微了。原因是它是垂直的。

除了斜率，微分还有什么?垂直斜率是无限的。他们不?T存在，所以在这个点上它不可微。所以极限存在，它是+3，它是连续的，f(c)存在，对吧?S 3不是吗?T在这些点上是可微的。差异化是艰难的。它吗?it’这是一件很困难的事情。

AP考试中一个很常见的问题包括两个部分:你在哪里?我们应该找到一种方法使函数整洁，并测试它们是否?是否可微。这通常出现在选择题部分。让吗?年代看。

你吗?给定a到部分函数;在一边的功能呢?这是一条抛物线吗?s得到x²和x，函数的另一边是一条直线，但我们不知道?我不知道这条线的斜率是多少。他们见面的地方是1，或者我们需要让他们见面的地方。我们什么?我们要做的是找出替换k需要什么才能使它们相遇。我吗?我要画一个草图。

它看起来是这样的。

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抛物线是这样的。它确实会一直延续下去，但我们?“你不会让它永远持续下去的。它看起来应该在x = 1处停止。所以我?我要往后退一点然后擦掉一点。好了。它吗?S应该在x = 1处停止。它包含1，所以这部分应该有一个闭圆，因为你可以把1代入函数的这部分。

如果我们吗?为了使这两条直线重合，我们需要有正确的斜率，使这条直线与它相交。真的都是你吗?当x值为1时，你?我们要找出怎样才能使它们有相同的y值。我吗?M取函数的两个部分并让它们相等。

函数的左边部分是?x²- 2x + 4，右边是kx + 3。我们吗?我们将知道怎样才能让他们在1点见面。这告诉我两边都可以代入1，包括这个?我真的不去，因为它?S应该大于1。了吗?好吧，会成功的。我吗?得到-1²- 2 * 1 + 4 = k * 1 + 3。稍微算一下。 We would have -1, -1² which is -1 minus the 2. I?m writing this out because even though I?ve been doing this for years, I find you make few eras, if you write down even this trivial arithmetic you?ve been doing since first grade. Equals k plus 3.

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这些加起来是-3 + 4，等于+1，两边同时取3 k就等于-2。了吗?这是成功的关键。这段直线是f(x) = -2x + 3。最终的答案其实就是k = -2，我这样做是为了让你们看到它是什么样的。我们吗?不管怎样，我们马上就要用到它了。2 x + 3。

这个函数与y轴相交于4点，所以+3截距应该是这样的，它呢?s的斜率是-2，这实际上比我画的更低。为了把它们连接起来，这条线应该是这样的。这是一条曲线?然后它突然不再是曲线而变成了直线。让吗?现在我们把这一小部分去掉，这样我们就能看到最终的结果是什么样子了。在这里。

现在我们吗?we’我们要继续做这个问题的最后一部分。我们吗?如果是这样，我们会发现怎样才能使函数可微?甚至可能。它在x = 1处可微吗?让吗?让我们看看需要什么。为了是可微的，记住什么是正确的，它必须没有急弯。这个看起来像有个急转弯。所以它吗?s probably not differentiable there. But we?re going to have to test that out to prove it.

(0:16:00)
特别是如果你?你在做自由回答部分，是吗?你得证明给我看。通过检查两边的斜率来证明。我们要做的是求出这条边的斜率我们刚刚发现这个函数是-2x + 3。我们必须利用它。我们两边都要区分，即使我们不?我不知道是不是?S在这个点是可微的。两边都是可微的。

在左边，f'是-2x -2， +4的导数是零。右侧;我们要对-2x + 3求导。这一边的导数是普通的-2。

这些公式是固定的。他们可以吗?t被改变。如果没有呢?T在这个点是可微的，可以吗?让它们可微。在吗?这是另一种你可以让它们可微的问题，但这次不行。现在检查一下?S在x = 1处可微;我可以把1代入这个式子。 So f'(1) using the left side of the formula is -2 times 1 minus 2, that?s -4. So the slope coming in from the left side is -4. The slope coming in form the right side is -2.

两边的斜率都是一样的?不是可微。还记得吗，如果两边的斜率不同?“那是什么急转弯?”不是可微。

下一个话题是什么?我们将在AP技巧的章节中讨论不同的主题，即导数的中值定理。

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上节课我们讲了中值定理在AP技巧2中，我们讲了积分的中值定理。他们吗?你们彼此有点不同。这个导数的中值定理是你们很久以前学过的。就在你刚开始做导数的时候。所以你没有?我很长时间没看到它了，这意味着它?这也许值得一看。

我想要记住的是，中值定理说的是某个点的斜率等于端点之间的斜率。它吗?它是Rolle的延伸吗?S定理说如果端点是彼此的左和右，换句话说?如果高度相同，它们之间的斜率是0。曲线上一定有其他地方的斜率是0。如果，这是一个大If，函数是连续的，可微的。我们吗?我一会儿再谈这个问题。

这只适用于闭区间;闭区间从这里到这里。如果我把它们连起来，我就能计算出这些端点的位置就能像这样求出斜率。纵移除以横移，Y2 - y1 = x, Y2 - y1，除以x2 - x1 ?你的斜率。让吗?让我们把这些标在下面。我们吗?我们称之为点(x1, y1)我们吗?这是点(x2, y2)

现在注意到它们之间有一条直线，不是吗?函数的T部分。另一部分是说你?我们得到了端点之间的斜率。一定有某个地方函数的斜率是相同的，对吧?这就是它的意思。某一点的斜率是c，这一点是均值。

在我看来，如果我试着画一条平行线，一条斜率相同的，它是什么?S看起来像这样。

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这个点的位置必须是(c, f(c)) c是均值。所以c是你要代入函数的值，这样在这个点处的导数就会有相同的斜率。

这是它的技术形式，我觉得有点难记住。你吗?我可能也会做。它的意思是一样的。F(b) = y2，所以这是F(b)这里不是x2，而是x2，这里是b，同样这里不是(x1, y1)你称这个位置为(a, f(a))

我之所以要提起这件事，是因为，你?有时你会看到多项选择题。在函数的某个地方这是真的吗?那您赢了?i don’我对这个函数一点也不了解。你会被要求从一系列的选项中选出这个平均值是否适用。通常，你只需要看看它是可微的还是连续的?如果是这样，那么答案应该是肯定的。

看看奖金的材料。我吗?我有一个实践问题，涉及使用这个技术定义和知道如何识别它。

现在来吗?让我们做一道练习题。在吗?这是你需要做的非常重要的技术性工作。如果你在AP考试的自由回答部分看到这样的题目，你需要知道怎么写。

求函数f(x) = 1/3x³- 2x +3在区间0到+3上的均值。需要给出区间，因为?S有很多平均值，它是多少不仅取决于函数，还取决于你选择的端点。

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我让这个图从0到3，这样更容易看出来。但是如果你?“你把它放在你身上?”你的图形计算器，你赢了?我看不出来，除非你把窗户换掉。了吗?这是一个看待它的好方法。所以在吗?在这里和那里之间有一个斜率。肯定有某个地方，大概在那里?s going to be c, where the slope of the tangent line equals the slope of that curve. It looks like c is maybe 1.6 or 1.7, but we?ll find out.

这里是技术细节，在首先验证定理的适用性之后。真的，你要做的就是说出“it?”s在(0,3)上连续可微，设?让我们把这个写下来。

F(x)在[0,3]上是连续可微的。注意到x等于，小于等于;闭区间。它吗?有一个闭区间是很重要的。如果你?让我们求均值，求什么?what’问题是你在哪里?你被要求确定是否?有可能吗，你?你可能会得到什么?S连续或可微。因为你可以吗?如果是这样，我就不做了。s not continuous and differentiable. But if you need a little bit of proof, understand this is a polynomial. There?s no variables in the denominator so it?s going to be continuous. Pretty much continuous everywhere. Differentiable, yes, continuous and differentiable, you can differentiate that thing. You don?t have to have a form of proof of why it?s continuous and differentiable you just typically need to make a statement.

(0:24:00)
我们什么?在我们开始之前，我们需要做的是找出端点在哪里。我们吗?我们要用这些端点来求斜率。我吗?我要把它写成一个单独的计算，我发现这样比使用公式的正式定义更容易理解。我们需要利用端点，所以我需要求出f(0)是多少。当x = 0时，f(0)代入这里，不难，1/3乘以0，减去0，等于3。其中一个端点是(0,3)

下一个;这个端点在3点左右。让吗?let’让我们弄清楚那是什么东西。我们需要做的就是求出f(3)是什么。F(3)等于1/3³- 2 * 3 + 3。很容易做到。结果是6。记住(0,3)和(3,6)

我们什么?我们现在要做的是看下一张幻灯片?我还有更多的写作空间。我们吗?我们来求斜率，好吗?我们要对它求导，让它们相等。所以斜率是y2 - y1 / (x2 - x1)3除以0。我总是喜欢这样计算斜率，一点一点，把y和x放在一起。这样可以少犯错误。(3,6)把6放到3的正上方我们得到斜率，看起来是-3 / -3，这?年代好。

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它吗?S的斜率是+1。很容易。现在来吗?S求导。F'(x)等于1/3乘以x³的导数也就是x²，减去2乘以x也就是-2。不够好。我们吗?我们完成了这个导数。

最后一步;我们什么?我们现在要做的是，这可能会让人混淆，把cs放在xs的位置。这就变成了f'(c)因为f'(x)是常规函数，f'(c)是一个特定的位置;一个特定位置的功能?S是我们的答案。所以呢?c²- 2在c点的函数等于两个端点之间的斜率。

这很容易解决。两边同时加上2,c²等于3。你知道你怎么称呼一个顽皮的水手吗?t你吗?海?的平方。C是正负根号3。我们得到了两个答案，但是?我们将忽略其中一个答案。看到这个函数是一个圆锥了吗?S将会上下弯曲。曲线上还有一个地方有这个斜率。 But the only one that?s in the interval is positive square root of 3. So that is our answer; c is positive square root of 3.

在这一集里，我们?i’我只是涵盖了你在微积分课程早期学到的一些概念。

(0:28:00)
涉及连续性的概念，换句话说，是否存在差距。我们吗?我们讲过可微性的概念，换句话说就是在特定位置两边的斜率是相同的。和我们吗?我们讨论了导数的中值定理的概念。换句话说，就是找出曲线上斜率与端点间斜率相等的位置。

他们吗?you’做起来并不难。但我发现学生通常会在4月或5月的AP考试前忘记这一点因为你在课程开始的时候就做了，还有很多其他的事情?同时我也学会了。

一定要看看奖金材料。这里有一些复习问题，与此同时，我?我给你准备了一个笑话。你吗?i’我听说那天的悲剧了?是的，发生在数学课上。看到有一个学生是谁吗?他在鬼混，老师没收了他的橡皮筋，为什么?为什么没收橡皮筋?因为它是数学破坏的武器。