AP技巧，第4部分

(0:00:00)
你好，我的日记，再来一次光晕。今天我们将学习积分函数和平均变化率。我们在AP Tricks 4中把这两个主题放在一起，就像我们在AP Tricks章节中经常做的那样。在AP考试中，把几个不同的题目组合在一起，你很可能会发现这些题目很棘手。

现在，这两个主题是积分相关的。你们之前见过平均变化率。我们在AP Tricks 2里做过。但我认为值得再看一些。在我们开始之前，先说说这个坏笑话。你知道它要来了，你也害怕它。你听说母狗的事了。她已经准备好要生小狗了，所以她得找一个漂亮的窝让它们待在里面。狗通常会找一个隐蔽的好地方养它们的小狗。她发现了一个美丽的地方，就在一棵树旁边，但也离路很近。 Well the poor dog, after she had the puppies, the police came by, found the puppies. They weren't amused at all. They gave her a ticket for littering.

函数的积分。AP考试中经常会出现这样的问题一个函数定义为另一个函数的积分。他们看起来可怕。它们看起来太可怕了。然而，从很多方面来说，它们是考试中最简单的问题。让我们看。函数f的图形由图中所示的两条线段定义。

你通常会看到一个关于这些的图表。更重要的是，你通常也会得到一些坐标。坐标是得到答案的一部分。我把它们填进去。我们看看有什么。这个坐标是(4,4)这时你可以看到a (0,0)

(0:02:00)
这个是(-3,3)我们要做的就是看这个式子，h是函数，定义为f(t)dt的积分。不，没有t，别担心，你不需要它。这是使问题正确的必要的技术细节。

你可以这样做。你可以说，这是一条直线，我知道我可以做直线方程。然后可以写出f(t)的直线方程。然后可以对直线函数积分。然后你可以代入x，代入0。然后是h(x)这大概只花了你十分钟你本可以花十分钟做更难的事情。

这里要求你做的就是记住积分是关于面积的。就是这样。如果你被要求求h(4)。题目说的是，把4放在x前面，还有这里。你需要做0到4之间的积分，也就是0到4之间的面积。这是世界上最简单的事了。看,哇三角形。这是艰难的。这样就不用做复杂的形状了。也许你要做一个梯形，或者一些矩形和三角形的组合。 But it really doesn't get harder than that.

这个三角形的底是4。我在图上的比例从左到右，从上到下都不相等。这就是为什么这个三角形看起来和它的真实形状不一样。因为高也是4。就是这样。所以即使你在自由响应部分看到其中一个，你也不需要做积分。我会告诉你该怎么做。

这只是为了解决问题。你要做的就是把技术细节写出来。这就是你所做的。

(0:04:00)
这里用4代入。再一次f (t) / dt。t只是一个工作变量，对它积分是必须的。然后代入t以外的数字。然后在这边，你可以算出面积，等于1/2底乘以高。我大概从四年级就开始做了。

1/2底乘以高。等于1/2 4乘以4等于8。现在，在你放松下来，决定你有答案之前，还有一件事要注意，积分的方向。开始积分的时候就这样做了。你做了一个星期。然后你忘记了，因为你再也没见过它。纠正很重要，我们正从左向右。所以积分结果是正的。它在x轴的上方。所以结果是正的。 So just leave that area alone. The answer is 8. Let's do one more on this.

这次是h(-3)在这个问题上给出的坐标是(-3,3)这个问题和另一个问题差不多。我们要找到h(-3)这就是从0到-3积分得到的结果。F (t) / dt。不是f (d) dt。这是一种多年前就被禁止的毒药，因为它对老鹰非常不利。

画出三角形，很简单。底是3，高是3。你知道你可以在这里用负号。但我们马上会把它放回去。我们来算面积。

(0:06:00)
面积是底乘以高的1/2。1/2 3乘以3等于4.5。但这还不是最终答案。最后的结果是-4.5。我给你们两个理由说明为什么它必须是-4.5。第一个是，从右到左积分。我们沿着这个方向，建立积分面积，和我们应该做的相反。结果是负的。或者用另一种方式来考虑，你可以称这个为高+3底为-3。在这种情况下，答案无论如何都会是负的。

我们来看另一个更难的步骤。这越来越像你们在AP考试中看到的规模了。我又得到了由两个线段定义的东西。我们要求出h(3)我要把坐标拍下来。同样，你通常会得到坐标。这个是(0,5)这个是(3，-2.5)最后一个是(6,5)。

所以我们需要找到h(3)3在这里。如果我把它画下来。我需要找到两个区域;这个和那个。我们来算一下。这很容易做到。如果你没有给出这个点，你实际上要做一个直线函数来找出它在哪里。图表上也可以清楚地显示出来。很可能是。

(0:08:00)
这个位置是2。所以这个三角形的底是2，这个三角形的高是5。这是很容易。1/2底乘以高，面积是5。然后下面。从2到坐标3，底数是1。底为1高为3。所以1/2乘以1乘以3等于1²。这个区域的面积是1.5。而这部分，在轴的下面。

所以即使三角形的面积是1.5，我们必须说，积分，面积，是负的。你知道，实际上如果你用这个负坐标，它会是这样的。我们快做完了。

所以再次写下技术细节来表明你知道你在做什么。做那件事不需要太多。f (3) dt。上一题我没有代入值。那应该在里面。很容易。左边三角形的面积是5，加上下一个区域的面积是-1.5。看起来h(3)等于3.5。

我们会继续前进。下一部分我们要做同样的事，同样的函数。但是我们会发现关于这个函数的其他东西。这次我们要找出h'(3)是什么。然后你可以说，h'(3)

(0:10:00)
就在这里。你可能会走到这里说，“哦!(3)哦，不，我们不能那样做，不是吗?”因为那个点很尖。实际上我们可以。我们可以这样做，因为我们不需要从两边来。

这要求你认识到这个函数是这个的积分。图像是f(t)对它积分就得到了面积。但导数是反积分。实际上，这个导数就是这个函数。

所以h'(3) = f(3)这是所有。你所要做的就是从图形中读取值。f(3)从图上看是-2.5。我们还可以对这个图做一件事。求4的二阶导。如果我们求它的一阶导数，记住它会消去函数。一阶导数可以消去积分函数。二阶导数是f(t)的导数。导数是什么? It's a slope. This problem is just asking us to find the slope at 4. That's quick.

斜率，我们需要这个位置和那个位置。这个也是(6,5)这个位置是(3，-2.5)。用老式的浮起来就行了。

(0:12:00)
所以斜率是5/6 - -。-2.5 / 3。我们就快完成了。5 -(-2.5)上面是7.5。7.5除以6减3，很简单。斜率是7.5，就是这样。h”(4)是7.5。现在你可能会想，等一下，后面的两部分说在这里放3。我们做了h(3)和h'(3)为什么他突然切换到h'(4)? Look at what happens at 3.

记住，这个二阶导数是原函数的斜率。原始函数有一个尖锐的小点。在这一点它是不可微的。所以如果我问你h '(3)你会说，'不存在'

平均变化率。你们还记得在Ap Tricks 2那一集里讲过积分的中值定理吗?我们现在要做的问题，只是它的另一种变体。虽然措辞不同，但令人惊讶的是，问题几乎是一样的。

现在这个告诉你，求函数的平均变化率。这是区间为0到5的函数。所以你在想，“变化率。很好，我知道变化率，这些只是斜率。然后求导数"你也不是完全错了。因为这里包含了导数。

(0:14:00)
但如果你直觉告诉你，你知道我要做的就是求导，然后代入0和5，然后平均这两个结果，你会得到错误的答案。因为变化率不一定是线性的。你可以有一个这样的函数，变得越来越陡。所以在0到5的区间上，它变得越来越陡。但这并不意味着平均变化率除以这段时间，就等于求斜率的平均值。

不，我们要做一些更复杂的事情涉及到积分的中值定理。我们开始吧。我们需要找到这个平均值，这个函数在这个区间上的平均速率。这就是均值定理。我要开始设置它，然后有一件事我们要修改它。

我们想要的是平均速率。它是基于中值定理的。如果用中值定理，我要求出的是0到5这段时间内的累积量。如果我用它除以花费的时间，那么我就知道在这个间隔内每秒发生的事情的平均数量。好吧，我们准备好了，但还有一件事需要注意。

变化率需要对函数求导。所以我们需要对这个函数求导。然后我们还要对它积分。奇怪的是。我要用这个公式。我要用1 / (b - a)我要用这个函数从a到b的积分。

(0:16:00)
但是因为我们想要的是平均变化率，而不是函数的平均值，我们需要对它求导。记住，导数对积分有什么影响?积分对导数有什么影响?它们是逆的，互相消去。所以我可以用这个函数替换整个单位，然后在0到5张成的空间中求值。这就是整个过程。我有1 / (b - a)这些是区间5到0的端点。f(x)dx，就这样写下来了。因为记住，如果你做这个积分，你可以得到一个不同的函数，但是你马上就要对它求导了。这抵消了积分的作用剩下的就是x³- x²。 x³ minus x² and then we'll evaluate that from 0 to 5 as well.

这很容易做到。你用5s代替X。我应该那样做的。我将在下一步做这个。得到1/5。括号5立方。这是正确的时间，在我写完评估表之后。当我们都做完的时候，你只有20个。

在我们下班前还有一件事。在这一点上，你可能已经看了以前的AP Tricks集。你们已经看到各种奇怪的问题被解决了。通常两到三种不同的类型在每个AP魔术插曲。

(0:18:00)
在这段时间里，我查阅了美联社官方指南中所有我能找到的奇怪和不寻常的问题。你可以从他们的网站上下载官方指南。问题是，很难预测自由回答部分会有什么内容。因为美联社的人每年都换。一旦他们发布了测试，他们就会免费给他们y。也就是说你可以看着它们。

问题是，他们并不是真的想知道你是否能解决某些问题。他们想知道你是否真的理解了微积分背后的东西。所以他们在问题上加入了令人惊讶的变化，这是很难预测的。为了在自由回答部分做得好，你需要知道的是如何处理一个问题的一般策略，如果它不是直接的。让我们来看几个例子。

解决难题的策略。这个问题我们已经讨论过很多次了。你会经常看到它。一个积分用面积表示的问题。很多时候你会画出一个面积。问题是关于积分的。你需要意识到它们其实是一样的。与之相关的是面积可以用几何方法求出来。所以很多时候你不需要做任何积分或导数，任何微积分。你所要做的就是，意识到微积分的结果。 And then just use a geometric formula to get the answer. Like, trapezoid formula or the triangle area formula.

沿着这条线，任何时候，当你被问到黎曼和或者梯形和的时候，要意识到它只是几何的。

(0:20:00)
你将这个部分分解，你将形状分解成由几何形状近似的部分。很多。你做的越多，你就越接近真实的答案。还有一个。对速率积分得到一个量。所以它们相互解开，你就能算出有多少是由某种物质构成的，比如一辆加满油的油箱，或者一段时间内通过十字路口的汽车。

衍生品和积分。它们是相反的。它们相互解开。当它们相互解的时候，有些时候你不能简单地把原来的公式写出来。有时需要用链式法则。我们会在AP技巧5中遇到这样的问题。导数和积分是逆的。这意味着他们真的会唱歌吗?这意味着他们知道自己的诗吗?不。

衍生品;导数是函数的斜率。得到一个函数，导数告诉你陡度。到此为止，如果已知函数的斜率，还可以进一步求。二阶导数是斜率的斜率。换句话说，它告诉你斜率变化有多快。

利率可以从导数图中看出。举个例子，如果你有一个图显示了x值与函数或导数的关系。如果你想知道函数的斜率，你所要做的就是从x导数图中读出(x,y)坐标。

最后，函数中的函数。用链式法则。当我们看美联社技巧5的时候，请记住这一点。

(0:22:00)
从前有一个人，他是一个真正的天才。他是个多才多艺的人，什么事都能做。他数学很好。他会出去砍一棵树然后把它变成引火物。除此之外，他还是个歌剧男高音。他真会唱歌。你知道他们是怎么说这个数学伐木工的吗?他们说他有很强的原木节奏。对数,是的,好的。无论如何，在这节课中，我们所做的是从讨论如何取一个函数并将其定义为另一个函数的积分开始的。

我们接着讲了一些关于平均变化率的问题，这些问题需要用到均值定理。除了使用中值定理，你还需要意识到，因为有一个变化率，你需要对中值定理中的积分求导。导数和积分相互抵消，只剩下函数值。

我们最后复习了一些一般策略。你可以做的事情来帮助自己冷静和定位。如果你在测试的自由回答部分遇到一个问题，你不清楚你应该做什么。再次感谢你的收看。