AP技巧，第五部分

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AP技巧5，这节课将展示一些更专业的问题，旨在测试你的微积分理论知识。我们吗?我们要看一些涉及到斜率场的问题，一些涉及到检验你是否理解了什么时候需要用到链式法则和乘积法则的问题。包括微积分第一基本定理的问题，和微积分第二基本定理的问题。但在我们开始之前，我?我要给你看这个。这是地球上最好也是唯一的微积分技巧。

这是个笑话。要理解这个笑话，你必须会微积分。我吗?我给你一些提示，首先是你?我们需要积分。其次，每个符号代表一些单词或仅仅是一个单词。最后，一旦你?我把它积分了，你知道它这个词了吗?这是一个常用短语。看看你认为你是谁的奖励材料?我明白了，你呢?解就在这里了。

用表格求导，你呢?在不用计算器的选择题部分，我们很可能会碰到这样的难题。现在他们吗?我们想看看你们是否真正理解了什么时候需要用到链式法则，或者乘积法则，或者除法法则。他们不?但我没有给出函数。所以你可以?不要只是说，嘿，我知道怎么做这个，然后就开始做这个函数。在乘法法则链中求方法的导数。

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不。你需要做的是意识到它是什么，从乘法法则的链条中走出来，然后从表中代入值。他们吗?我们总是要求你在一个特定的地点这样做，因为你可以吗?把它作为一个一般的函数而不知道这个函数是什么。这里有个问题，他们?我们通常用其他函数来定义一个函数。在这种情况下，h(x)被定义为f(x)乘以g(x)加8。然后是h'(2)换句话说，h在特定位置的导数，在特定位置的斜率。

退后一步，想想这是什么。如果我们吗?我们要做这个导数，我们要对这里的所有东西求导。这里的每一项都有乘法。乘法，这需要什么规则?产品的规则。因为这些不是?T只是普通的数字，这些是函数。包含x的函数。如果它们是含有x的函数，那就意味着求导需要用到乘法定则。

来复习一下乘法法则吧?我们要对第一部分求导，乘以第二部分的非导数。加上第一部分的非导数乘以第二部分的导数。当我写出来的时候，我?M要消去x?S和替换2? S。因为我们吗?我们会在一个特定的点找到这个。

我们需要求出h'(2)它必须等于第一部分的导数。了吗?sf '特别是2乘以第二部分的非导数。也就是这个位置的g(2) + 8。

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注意到了吗?T对8做了什么?是因为我没有吗?T对这部分求导。所以我把它写下来了。乘法法则的下一部分，加上第一部分的非导数，就是f(2)乘以第二部分的导数。第二部分是g(x) + 8。它的导数是g'8没有了，因为8的导数是0。

我们有g'(2)如果你把f(x)分配到这两个项上。然后求导，很好你会得到和我们一样的答案?你会得到，用I?我指给你看。现在吗?S时间在表格上，表格告诉你可以代入什么。对于这个特定的x值，它给出了f的函数值，f'的导数值等等。把数字填上，好吗?我们快完成了。

F'(2)等于-3 -3乘以g(2)等于4加上8。我们不?不需要代入任何东西。加上2的1/2等于5乘以g'(2)G '(2)等于7。太好了，我们完成了。只要做一点加法;把这些相乘得到h'(2) = -1。现在我们吗?我们再做一个，下一个需要链式法则。

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我之所以知道这个用链式法则，是因为?我们在做一个函数的函数。如果你要求其中一个的值。你要做的就是把x代入一个数字，然后用函数g求值，然后用这个答案代入函数f，得到最终结果。注意到这个桌子有点大，因为?S会有更多的部分。记住链式法则要求对外层求导。然后乘以内部的导数，内部是g(x)把它写出来。我们再一次?你这次在一个特定的地点做吗?S在5。

h'(5)要求我们对外面的部分求导?s f，以及外部对内部的导数。还记得吗?不要对它做任何事。对于这个导数部分你不用管这部分，所以这里有g(5)乘以内部部分的导数，是这样吗?s g”(5)。我们吗?我们快完成了。我知道这看起来很混乱，但它确实是链式法则。

这个和上一个不一样，需要2步，因为I?M要用g(5)和g'(5)来代替。然后再做一步替换。所以f'不会?T还没有消失，但是根据表g(5)是1。这里没有等号，乘以g'(5) g'(5)等于8。

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这就是为什么你需要表上的第二行。我们需要f'(1) not 5。因为1是将5代入g(x)得到的结果。f'(1) = -1，差不多了。我们有-1乘以之前的8最终结果是-8。

注意到了吗?表中有很多我们没有的数字?T使用，你只需要处理它。他们给了你一桌，这样他们?关于该怎么做，我们不会给你太多的提示。

关于斜率场要记住的是，它表示了函数的所有可能位置。题目首先给出一个微分方程微分方程包含位置和斜率。你可以用这个微分方程来表示斜率，在图上很多不同的地方。现在当你开始一个斜率场，它?S不会给出微分方程的任何特解。它会显示出所有可能的解的方向。让吗?让我们看一看。

这个问题要求你画出斜率场并求出f(0) = 7时的特解。这就是微分方程。它吗?S表示斜率总是x值的两倍。有时候这些微分方程，经常包含x和y，这次只包含x，如果?你被要求自己画出斜率场，而不是看一组斜率场然后决定哪一个符合微分方程?我只给你几个位置。我们应该求出斜率场。

所以我们吗?S，我们有这个位置(1,1)(0,1)(0，-1)

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我们吗?我再做几个;(0,2)(- 1,2)你赢了吗?I don’我通常不需要做很多这样的事情，是吗?M要填进去，9个。我们可以吗?T也在轴以下我们再做一些。一旦你开始，它们就会非常快。我吗?我将把它组织成一个数据图表，并不是说你们一定要这样做，因为你们通常可以心算。但我想具体给你们看?m。

这个公式要求你通过x求斜率，所以这个数据图中有x和dy/dx。你可能需要一个包含x和y的数据图表，如果这两个都是求dy/dx所需要的。当x = 0时，2 * x也是0。这就得到了可以画在图像上的斜率。你要做的就是画出直线的小段，来表示曲线的走向。当x = 0时，这3个点都是这样，曲线的这一小段是水平的。斜率是0。

让吗?S选择另一个值，当x = -1时也应该这样做。当x = -1时，2乘以x = -2。所以在所有x = -1的地方，我都要画出斜率的一小段?S是斜率-2，很陡。我们吗?斜率-1是这样的-2大概是这样的。让吗?S画出来，斜率是-2。

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当x = + 1时，2 *(+ 1)= 2，斜率为+ 2。现在来吗?S画出来，斜率为- 2的一小段，斜率为- 2。我可以再填一些这样的。尤其是在这种情况下?T必须用y?S来计算斜率。如果你也要用x和y来计算斜率，它会赢吗?这并不像上下复制图案那么简单。你吗?D实际上需要使用一个特定点的两个坐标来求斜率。但不是这个，这个更简单一点

你吗?当然，我将在奖励材料中找到另一个。一种同时使用x和y坐标的方法。这就是斜率场的草图。现在来吗?S继续做微分方程。

我们在另一集讲过如何解微分方程。所以我?我很快地讲一下。记住，基本步骤是分离和积分。我说的分离是指把所有涉及到x和dx的项放在一边，把所有涉及到y和dy的项放在另一边。

所以我?M两边同时乘以dx，得到dy = 2xdx。现在，把它们分开，我可以对两边积分。dy的积分是y等于，2x的积分是x²?这很容易。加上积分常数。积分常数就是你需要初始条件的原因。这个微分方程给出了一个抛物线族，它可以是高的，也可以是低的。当我把这个放到斜率场上，等一下?I’我明白我的意思。

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它吗?f(0) = 7很简单可以心算。当f(0) = 7时，y代入7 x代入0常数就是7，很简单。特解的微分方程是y = x²+ 7。所以它吗?S是一条基本抛物线，它的顶点是(0,7)让吗?S回到图像上。

斜率场很酷的一点是，一旦你知道了你的位置，初始条件是什么?T甚至需要找到微分方程来画出函数。7大概在这里，我再画一些斜率场。我们吗?我们这里没地方了。现在你?我们可以看到它的形状，它必须经过初始条件7。然后沿着曲线。顺着那些小坡段走。我吗?我在这下面再画一个。

如果初始条件是2，它会像这样。你吗?我也经常被要求在斜率场上画一个草图。

你吗?我会一直用到微积分第一基本定理。它吗?S证明了先做积分然后代入特定的值，来求这些位置之间的积分值。或者求出这些位置之间曲线下的面积。虽然你一直在用这个词，是吗?你可能会遇到一些问题。我们被要求认识第一基本定理是什么。然后把它应用到你?我们不习惯，是吗?我来尝尝。

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在那之前，我们?我来复习一下。第一个基本定理，在这里。第一个基本定理说的是，当你取一个函数，求出它的积分后，你可以代入极限来求出这个积分的具体值。大写的F表示函数F的积分，有时候?我看它是这样写的。有时你会看到它这样写。在这种情况下，两者是一样的。这个说的是函数的导数的积分是将这些值代入函数。你可以看到任何一种只是要做好准备。

我吗?M将会做一些推导来帮助我们解决这个问题?你要做什么?我写下了这个版本的第一基本定理。这里大写的F表示正则函数的积分，即不定积分。现在为了得到一个公式，我把t代入这里，这样我就可以用x作为上限。我吗?下限M趋于0。

如果用a?S被0取代?S, b?S被x? S取代。最后要做的是，用这个方程解出f(x)通过两边同时加上f(0)得到f(x)现在如果你停下来想一下，这实际上只是我们在AP技巧4中做的一个变化。将函数定义为积分。

还记得我们做的吗，你所做的是，观察一个图形来计算到某一点的积分，然后在初始条件下把它加起来。在这儿。这部分证明了求0到x之间的图的面积然后加上初始条件。

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现在不同的是，我们不再用图表来做了?我们要用一个自然函数来做。这道题要求你写出不定积分，也就是对F积分的另一种说法，那么这个函数的不定积分就叫做F ?S是初始条件。我把公式抄下来了，你最好记住这个东西。你也吗?每次对它求导都要做什么?记住就行了。它也会出现在卡片上。

一旦你有了它，这是非常快速的。我吗?我们已经建立了从0到x的积分，现在我把它写成f(x) = sinxi ?用M代替x?S和t?S，这样就可以对不同变量积分，而不是最终公式中的变量。所以我?写成sin (t) dt，加上。我知道初始条件，所以我现在可以把它代入?年代3。它等于F(x)也就是F的不定积分。

做完了，sin的积分就是cos。我们有cos (t)从0到x，加上前面的3。等于F(x)现在我要代入0和x，所以这就变成了cos (x) - cos (0)唐?T假设0消失了。这是一个没有的地方。

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加上3 = F(x)差不多做完了。cosx是变量可以吗?T对它做了什么，但是cos(0)呢?年代常数。cos0 = 1。所以我们吗?我们得到了最终结果，F(x) = cos (x - 1 + 3)也就是+2，结果出来了。

微积分的第二个基本定理，说的是导数是积分的逆。上面说它们互相抵消。涉及到第二基本定理的问题，通常都是需要进行替换的问题。让吗?年代看。

这道题要求你对函数求导，这个函数是以积分的形式定义的。很好，导数就是撤销积分，所以你会想，很好，它就是撤销积分我的答案是3t ^ 5 + 9。但事实并非如此?t。还有一件事需要注意，链式法则。

现在,我呢?I’我将向你展示如何做这件事，然后我?我要用你们应该用的方法来做，简单的方法。长远来看，你处理这个积分，这个积分会被let?年代看到的。3t ^ 6的积分是t ^ 6，或者说1 / 2t ^ 6。

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9的积分是9t，不是90。你能看出来我喜欢裤子，他们?你总是坏的。那么你呢?D，代入这个。你吗?D代入4x，得到1 / 2 (4x ^ 6)加上9乘以4x减去，现在要把8代入。所以我?D有1 / 2 * 8 ^ 6 + 9 * 8。很好，得到积分了。我把它写在导数后面，但实际上这是我刚刚做的积分。 Capital F(t).

我们，我们?我们应该求出f'的值，换句话说就是求这个积分的导数。这就是偷偷摸摸的事情发生的地方。所以我们吗?S假设你做了这个过程，你做了积分现在你通过对这个式子求导来撤销这个积分。4x的6次方不仅仅是x的幂下。换句话说，它采用链式法则。是的，它确实改变了。哇,那?这里有捷径。

如果你不做所有这些步骤，你必须意识到你必须把答案乘以链式法则因子。至于8，现在看1 / 2乘以8的6次方加9t等于8，对吗?S只是一个数字。它吗?S是一个常数，当你对它求导时，它就消失了。所以8没有?T做任何事，就是4x。

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现在用最快的方法。这才是你真正想要的方法。和它吗?这是你需要知道如何去做的方法。因为当你在考试中看到其中一个时，很有可能他们?我们不会给你一个像这样简单的积分。他们吗?我会给你一些你能给的东西?t积分。换句话说，你可以?在不理解积分和导数相互逆的情况下做这个题，你必须要用链式法则。

所以你现在只要说出来，就能得到我的答案吗?年代f (x)。我知道?sf '(x)而不是t，因为?san x是其中一个极限。我只需要把3代入4x来代替t，上面还有5次幂，加9，所以我做了替换。但这个量需要乘以链式法则因子。链式法则因子是4x的导数，也就是4。

这个问题很大，所以我提前算好了。我们要做4x的5次方然后乘以3，等等。我发现这个的结果是12288x ^ 5 + 36。还有一种可能的变化。对于这个问题，变量是积分的上限。如果变量是积分的下限，如果4x在这里，那么如果你做积分，这就是部分。

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变量部分是负的部分。你呢?D必须取这个结果，把它变成负数。请击鼓，这就是AP技巧。在我走之前，我还有一个漂亮的笑话。什么?当有人告诉你一个非常蹩脚的微积分笑话时，你的正确反应是什么?让我给你看，rdr。是的，明白了吗?是的。