区域之间的曲线

(0:00:00)
出于某种原因，你决定学微积分，为什么?我知道我做过，因为它很有趣，而且真的很有用。它在工程和科学上有很多用途。今天我们要讨论的是两条曲线之间的面积。两条曲线之间的面积就像它听起来的那样。你可以有两种不同的形状它们之间有一个面积，求出它们之间的面积实际上就是求出两个积分然后减去它们。

现在假设一个工程师想要找到一个非常复杂的铸件的体积，或者说是一个桥梁支架。如果他们能算出定义这个形状的方程，再稍加扩展就能求出这个形状的体积。从这两条曲线之间的面积开始。

让我们看一个问题。这题要求求出抛物线f(x)= x²-4x+7和g(x)=7之间的面积。他们要求的是这个面积。这个有一个很常见的问题，它没有告诉你积分的极限。你需要知道的是，积分的极限必须是曲线的交点。

如果你要做这道题，首先要做的是，求出上曲线下的面积。记住，在微积分中曲线不一定是曲线。这是矩形然后减去抛物线下面的面积。剩下的，就是两条曲线之间的面积。

(0:02:00)
这里有一个公式，你不需要用到它因为最基本的就是做一个积分然后减去另一个积分。但在积分之前，把这两个函数相减是很方便的。现在让我们做习题。这个习题中会给出积分的极限。

让我们从画草图开始。这很重要因为你需要知道上函数是什么。如果你不知道上函数是什么，你就不知道应该先建立哪个函数。在确定了上函数和下函数之后，用上函数减去下函数。然后你需要找到积分限如果没有给出的话，最后对它积分。

在这个例子中，我有一个抛物线和一条直线，我们要在0到5的区间上做这个。区间是已知的。这是图表。上面的函数是一条直线，下面的函数是抛物线。我们的极限是0到5。所以我们要找出它们之间的面积。你可能会想，“等一下，这在X轴下面，所以它和X轴之间的面积是负的，我要在它们之间做一些改变。”不，你不需要。积分处理了所有这些。你需要做的就是用这个函数，x+10，减去这个函数，-x²+6x-9。 So we'll put them together as a single integral.

(0:04:00)
这就是公式，但是这个公式实际上是告诉你减去它们。得到x-10减去所有这些。它方便的原因是我们可以做更少的部分积分，如果我们先减去。这是0到5的面积。要非常小心这些问题的正负符号。如果把其中一个搞砸了，你就没有运气，你得到了错误的答案。很容易把其中一个弄乱，所以要确保你的作业很清晰，这样你就可以去检查加号和减号。

现在有一种方法可以显示出清晰的作业并节省一点时间，因为你们可以在考试中写，就是注意这个负号的分布，只需要在题目上写。当你把负号乘进去它就变成了正号，这变成了负号，这变成了正号。所以我们有了可以遵循的工作，而不需要花大量的时间去写。我的意思是一直这样做。

你可能会想，“哦耶!减法问题我也能做，我现在没有微积分问题了"你会惊讶于在这一步上犯错误是多么容易。这里是x²，然后是-6x+1x，这是-5x然后是+9+10，这是19。现在我们来积分，因为它有三个部分。如果我们对这个积分，x²的积分是1/3x³。对-5x的积分是-5/2x²。

记住，我现在正在构建修正因子。x²的导数是2x。所以分母上的2要消去导数里的2。加上19x，从0到5积分。

(0:06:00)
那就代入。同样的，这些问题通常有很多代换和分数，如果你没有清晰的作图，很容易出错。我们有1/3(5³)也就是a (125/3 - 5/2 (5²+ 19))减去，这是积分的第一部分如果我把5代进去，减去我把0代进去。现在你可能会留下你的印记。如果你把它留在这里，这也没关系，但是要注意，你必须经常检查确保如果其中一个极限是0，那么结果就是0。1/3乘以0的立方，是0。5/2乘以0的平方是0。19乘以0也是0。如果你有正弦和余弦函数，它们可能不都是零。我不打算展示处理这些分数的所有工作，我已经提前算出来了。

这里和这里之间的面积是445/6。这是我们第一个完整例子的面积。

是时候再试一次了，德国人会说noch einmal。这个有点难但是最后一个，我们不用担心曲线的交点。我们只是说，“嘿，这里有一些限制，找到被困在这些限制之间的区域。”这一次曲线会相交这就告诉了我们极限是什么。

(0:08:00)
我们需要求出抛物线f(x)和直线g(x)之间的面积。就是这里的面积。记住，求出两条不同曲线之间的面积，或者任意两条不同曲线之间的面积，通过求两个积分，然后相减。在你这样做之前，你需要做一个定积分知道积分的极限。你必须知道确切的位置。在图上看起来像0，但这还不够好，你必须确保它是0。这个看起来可能是5，但你必须确定。

在AP考试的非计算器部分你们可能会碰到这样的题，因为这个题很容易解出来。如果你得到的是非计算器的部分，很有可能他们会给你图形但你可以指望它。你可能需要手工画出来。不太可能，但有可能。不管怎样，回想一下代数2，你们做了很多，可能比代数1做了一点。你找到图形交叉的位置。这发生在两条曲线的x坐标和y坐标同时匹配的时候。也就是说f(x) = g(x)

我们要找到y坐标相等的位置。因为方程两边都有x，所以x也会相等。f(x) = x²-4x+7, g(x) = x+7，我们得到了多项式x²和x，所以你要使用老朋友，零乘积性质把所有东西都放在一边。两边同时取x得到x²-5x，两边同时取7左边就不再有常数了。这将会很好地解决问题。把x提出来。

(0:10:00)
把x的二项式因子提出来就得到x乘以(x-5)等于0。我要走一条捷径，你们知道怎么做。x的取值是x=0和x=5。我们已经得到了积分限，5和0，现在我们来试一下。

设置这个。记住，你们要做的是求面积用一个函数减去另一个函数的积分。我写了(f-g)但那是因为这是我记忆公式的方式。在这种情况下，看上面的函数，它是g，它是直线。我应该把这个放在第一位。记住，当你看这些的定义时，你可以翻牌。重要的是上面的函数必须是减去的那个函数。

我们刚刚发现极限是0和5,g是(x+7)我们有(x+7)别忘了括号。黑板好像忘记了数字，这里我记得了，把这些都写出来。花点时间写出来，不会很长。它可以避免你犯错误，特别是当你有匹配的数字的时候。可能会，也可能不会。在这种情况下，他们会的。

记得上一题吗，我把负号放进去以减少出错的几率。

(0:12:00)
这个变成了正的，这个变成了负的，这个变成了正的，这个变成了负的。现在求从0到5的积分。我有-x²，我把它放在前面，还有4x + 1个x，等于5x。得到7 +(-7)常数消失了。我就不讲替换了。就是把5和0放在一起计算这些疯狂的分数。如果你注意这个，你会发现在这种情况下，答案是125/6，两条曲线之间的面积。

现在我们再试一个。在这个问题上你需要找到图形和计算器。你们很可能会在AP考试的计算器部分找到一个。我要求出cos (x²)和g(x) = x²之间的面积。

这是x²，这是与cos相关的函数。他们之间的区域是这里和这里。现在你需要用计算器的原因是，如果你让这两个相等，你就不能以精确的形式找到它们的位置。没有办法。你要做的就是知道如何把这两个函数都放进计算器里。把这个函数画成单独的函数然后用计算器的函数，叫做截距，求出它们相交的确切位置。

(0:14:00)
我提前用计算器算过了，然后发现它们相交的两个地方是- 0.8570，就是这个位置和+ 0.8570。这个是对称的，但别指望它们总是对称的。现在我们来建立积分。这部分的上函数是cos。如果我们做的是不同的部分，它可能不是上函数。下面的函数是x²，我们刚刚知道了极限是什么。这就是积分的样子。现在你可能在想，“我要怎么整合它呢?”如果你尝试换元，代入u=x²，就没有du了。这并不重要。 This is on the calculator portion. Let your friend the calculator give you advise, just type it in again to find out the area.

现在你会发现最好是擦掉刚才的两个函数为了找到交点，把它们都擦掉。以图表的形式输入。它看起来和这个完全不同但没关系因为你不关心它在这一点是什么样子的。你只需要用计算器上的积分函数在这里和这里积分。如果你这样做，你会发现这个的面积大约是1.2042。我建议你们在AP考试中使用小数点后三到四位的准确性。

也非常谨慎的自由响应部分当你允许使用计算器,他们不会期望你显示大量的工作,但是他们会期望你证明你知道适当的符号,而你显然显示如何设置这个。

(0:16:00)
所以你需要把这个积分写出来。即使你用计算器算出来的。你甚至可以写下下一步的步骤。你可以这样写"我用计算器算出了这个积分"然后写下答案，但你必须展示这个过程。自由回答问题得到的部分分数，总是包含在设置中。

另一个很重要的原因是，函数的交点可能不止一点。这个要求求正弦函数和直线函数之间的面积。看，实际上有两个不同的区域，这里的交点和这里的交点。在这个区段中，这条线是上函数。在它们交点的下一节，正弦函数是上一节。处理这个问题的方法是，把它分成两个不同的积分。

如果你找到这个区域，整个过程就会像这样。在这里和这里之间的第一个区域，你需要有一条直线- sin像这样。加上，对于有不同积分限的区域，你需要对sin - line积分。现在，虽然我可以跟你们讲解这个问题的所有步骤，但我认为你们自己尝试一下是很重要的。但是记住你要做什么。你会找到交点，建立积分。这个问题和我们刚才讲的有很多相似之处只是多了一个步骤。

曲线之间的面积，在AP考试中你至少会看到一条曲线，所以你需要做好准备。我们从基本的概念，如何建立它们开始，我们只是通过练习难度越来越大的问题。

(0:18:00)
我们做的第一个是积分限已经给出，积分限已经设定好了。接下来，我们要找到我们自己的积分极限因为它是两条曲线之间的面积。在这个问题上，我们可以通过一些代数运算，手工求出极限。第三个涉及到一个三角函数。我们要用计算器求积分的极限，求曲线的交点。但是不管这些问题如何发展，不管它们有多复杂，它们本质上仍然是面积减去面积。

你现在可能会觉得你真的在努力，事情变得越来越难，换句话说，他们说你在挑战极限。但要记住，不管你推包络线多少，它仍然是静止的。