定义的导数

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我们到了。导数及其定义。学了这么多年的数学，算术，代数1，几何，代数2，微积分预科，现在是微积分。你们已经准备好微积分的第一个重要部分了，导数。导数非常重要。导数可以让你求出任何东西的斜率或变化率。如果你是工程师，你需要使用速率。如果你需要用到速率，你可能需要用到导数。

因此，在这一点上，您可能已经学会了如何使用快捷方式使用导数。太好了。但是我想回到过去，让你明白为什么导数是有效的。当你第一次研究这一点时，你在学习捷径之前一定要先复习一下。然后你可能会忘记它，因为它有点难做，而且概念上很难。再看一次，我觉得会更有意义。

记住，导数是一个斜率。斜坡，上升，跑，那个你们从代数1开始就听过的老东西。为了得到一个可以求导数的公式，我们必须从简单的古老代数公式开始。我们从正割线开始。所以，你可以沿着曲线拾取任何你想要的点，不同位置的坡度会不同。

例如，如果你选这个点，这个点的斜率看起来是+3或类似的。如果你在这里选一个，在这个点画一条切线，你的斜率可能是-3。

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但要找到坡度，要找到坡度，你们需要两组x，y坐标。比如，这个和那个。直线上有两个坐标。这很重要。当然，如果我把它们连接起来，这将是一个可怕的近似值，因为这个点太远了。但我们稍后会处理这个问题。

现在，我们要做的是把它代入这个式子，让它更符合你们在定义中会看到的格式。如果我称这个位置为x1，那么如果这个公式是f(x)那么它的y坐标就是f(x1)如果我称这个位置为x2，那么它的y坐标是f(x2)人们对导数公式的部分困惑在于这个函数符号。它太复杂了，让事情看起来比实际情况更糟。如果你感到恐慌，记住，斜率，上升超过奔跑。

我们最终会在一秒钟内移动到这条切线。当然，切线的问题是，你没有两点。这条线上的另一个点，实际上，不是在曲线的下方。因此，这一点的上升超出了曲线。这就是微积分的作用，处理这个问题。这是斜率公式。我已经换了。看起来有点疯狂，不是吗？我会告诉你这些都是从哪里来的。知道了这是我们要找到斜率的实际位置，我就称之为坐标x。

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如果你把这个x坐标放到函数中，你会得到f（x）。现在，我们需要第二点，因为我们不再处理割线。我这里没有一个点，坐标是f（x2）。我有点不对劲。所以我必须画一个直角三角形，它实际上偏离了曲线，我把这个距离叫做，x的变化。因此，这是有多远。这意味着这个x坐标是x加上x的变化。

在这里，它看起来真的很恐怖和疯狂。这个数字是一个单一的数字，必须被替换到函数中，所以它是f（x+x的变化）。给我一秒钟写下来。我们准备好了。我们有沿着这条线的两点的坐标，（x，f（x））和（x+x，f（x+x中的变化））。试着这么快说三遍。它已经被替换了。这是y2。这是斜率公式中的x2，减去斜率公式中的y1除以x1。这个总量是x2，这个总量是y2。我们差不多完成了。

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这个三角形的问题是它太大了。这就是微积分要用到的地方。你可以让x变小，甚至更小。这里有一个很小的三角形。实际上，你一直让它变得越来越小，直到x的变化量为0。在这一点上，点1和点2，都在一条直线上并且都在曲线上。当然，如果这是0，就不能除以0这就是极限。你可能想要看看极限集来了解一点。我们要继续，完成这个公式。

做一点简化，我们就快完成了。X加X减去X的变化。x消失了，底部剩下的就是x的变化。记住，随着这些三角形越来越小，x的变化越来越小，直到最后x的变化是0，你不能除以0。这就是为什么我们需要一个限制。这是最后的公式。斜率是整个公式x接近0时的极限。

现在，我们已经推导出了公式，让我们来做一个练习题。我们用人工求导。记住，这只是斜率公式，这就是它的本质。这是纵移，这是简化后的纵移。我们要求f(x)的导数等于x²。这是你们的一个老朋友，一个简单的抛物线。但由于它不是一条直线，所以斜率不是处处相同，这就是为什么需要一个公式。

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这里的斜率和这里的斜率不一样，这里的斜率和变化量不一样。这是你很容易迷惑的地方，因为做这个的结果看起来很复杂。我们建议大家保持冷静当你代入这部分的时候，你所做的就是把函数代入x加上x的变化量然后替换这个单位。这被取代。

当我在学习微积分的时候，这是让我陷入困境的事情。这从何而来?什么要去哪里?这样一个烂摊子。记住，在做了替换之后这个会被这个替换掉。做一下。

所以，我要取x+x的变化，用它来代替公式x平方中的x。你有（x+x的变化）量的平方减，f（x）就是x²，这就是x的全部。现在，我们需要这个限制，因为记住你在做什么。如果你在一个特定的点上找到斜率，你必须使斜率三角形非常小，以至于x的变化接近于零。如果你现在把一个零放在这里，你就不走运了，因为你不能除以零。这就是我们需要限制的原因。

嗯，另一件让你害怕的事情是，处理这些问题的代数运算有时有点冗长和混乱。再一次，保持冷静，记住你在做什么。如果你到了x²消失的地步，你就完成了你的工作。让我们看看我们得到了什么。

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这是一个二项式。记住，当你对一个二项式进行平方运算时，你首先要做的是平方运算，再加上上上一项的首倍，然后是最后一项的平方运算。让我们这样做吧。二项式捷径。即x²加2倍，第一学期乘以最后一学期。这是x的2倍变化。加上（x的变化）数量的平方。让我把它放在一个括号里，这样我就可以在技术上正确地认为x的变化只是一个变量。对于这些问题，我需要延长这一行。如果这是第三次幂或第四次幂，您可能会在整个页面上书写。减去x²。

分母上仍然是x的变化量每次我都应该写极限。极限是x趋于0。现在我们要化简一下。这就是魔法的作用所在。如果它不能按照我的方法来简化，那就意味着你需要回去检查你的工作，或者找到另一种方法来简化它。看看我得到了什么。有x²- x²，它们加起来是0。

现在分子中没有任何东西没有x的变化。这就是美丽发生的地方。看，除非你能做到这一点，否则你无法摆脱分母中x的变化。它必须消失，因为你不能除以0。但现在我能做到了。这两个术语中的x都有变化。所以我可以用x的这个变化来把它分开。那一个分开了。这是x的变化的2次幂，所以其中一次除法。看看我们还剩下什么。分母只有一个1，这里有一个2x，只剩下x的一次幂变化。

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又在这儿了。我们只有2x加上x的一次幂变化，分母只有1。所以我不打算把它写在那里。现在我们可以自由替换。看，x的变化接近于0。我不会除以它，所以我可以把它放进去。用0来表示x的变化，剩下的是2x。这是我们的衍生产品。

到这里，我肯定你们已经学过斜率捷径了，你们通常不会这么做。你可以说，斜率捷径。导数，你只要把前面的幂取下来作为因子，然后把幂减1，你可以用最快的方法得到同样的结果。

你们刚刚学到的或者更可能是重新学到的，是导数和斜率的关系。我们从一个基本公式开始，这个基本公式叫做上升坡度公式，并用它来发展导数公式。衍生品，只是一个斜坡。现在，你可能不会做这么多。同样，你可能已经学会了捷径，一旦你学会了捷径，你就再也没有做过手动衍生。

说实话，在AP测试中，他们不太可能要求你像我们刚才在练习题中那样进行手动导数。但他们很有可能期望你能认清它的本质。在AP测试中出现了一些问题，给了你一个表达式，但是他们没有告诉你它是什么。但你必须意识到，它实际上只是一个导数的定义。一旦你意识到这一点，问题就变得非常简单和迅速。

如果你看了关于手动限制的那一集，你会发现一些这样的例子。事实上，你现在可能想去尝试一下。