函数图

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增加和减少功能是AP考试的一个重要话题。这几乎可以保证你会找到一些最小值，一些最大值，可能是一些递增和递减的区间。你可能需要找到一些凹点，拐点，所有的部分。这一次我们基本上只做一个问题，然后在一个问题上逐步发展所有这些方面。

我讨厌成为一个极端主义者，但是，我绝对确信你会在AP测试上面对这些。相对和绝对极值是图形到达的最高和最低点。绝对是最高，在整个区域中最高，最低，特定部分内的最高和最低限度。我们来看一下。

这里我们有一个问题，我们要看这个在-4到+4的闭区间上的图。因为它是一个闭区间，你可以有一个绝对最大值或最小值。如果它不是闭区间，你可能不会有绝对的最大值或最小值。从图上看，4上方是这个点这是一个闭区间所以这似乎是绝对最大值。

记住，如果这是一个开圆，换句话说，如果这是一个开括号，它就会是一个开区间并且真的不会有绝对最大值。这个是最小值。我不知道这是绝对最小值还是相对最小值，我们一会就知道了。这个看起来是相对最大值。这是该地区最高的地方。注意这个图表。

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它有一点问题，如果你在计算器上看到这些，它可能会欺骗你。该间隔最低的是-4。直接高于-4就在那里。所以我们甚至不应该在图中看那个地区，所以只是忽略它。这看起来可能是一个相对的最小值，这可能是绝对的最低限度。让我们找出来。

我们将在四个地方进行测试。两个端点都在这两个地方。很多时候，学生们会参与到所有的步骤中，然后说，我要找到斜率为0的地方，斜率为0的地方，然后他们忘记了测试端点。但是终点很重要。我们去找这个。

还记得上一集吗，我们找到了斜率为0的点，也就是切线水平的点。这就给出了相对最大值和最小值。求导。它的导数是3乘以1/3。小于3 + 2x - 3的1次幂，然后说它等于0。0等于x²+ 2x - 3。这确实是一个需要分解和求解的问题，我将直接切入到解是什么。x的值是-3和+1。接下来我们要做的是测试所有这些位置我要把-4代入原始函数，-3，+1和+4代入，来证明哪些是最大值和最小值。

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如果您在免费响应部分看到其中一个，则预计将显示其最小或最大值的证明。让我们这样做。证明。

如果我将-4放入原始函数中，F（-4）将成为5/3。现在我们将-3放入函数。F（3）替换为4.我将在图表上写下另外两个。如果您将1放入公式，您将获得完全-6 2/3的结果。如果您将+4放入其中，您将获得20 1/3的结果。

现在我们来分析一下。看起来最小的是-6又2/3。这是区间内的绝对最小值。20又1/3，是最高的，这是绝对最大值。这是相对最小值，不是最低值但这是这部分的最低值。相对最大值是4。好了。

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递增和递减的间隔。这些是图形中函数结果递增或递减的部分。听起来是这样的。我们继续刚才的问题，把这个作为额外的步骤。

记得上次我们求了导数然后用导数求出了最大值和最小值。看这个图，你可以看到从这里到这里是一个递增的区间。记住，图上的这部分并不算这个问题。另一个递增区间是从这里到这里，递减区间是从这里到这里。你可能在AP考试中看不到图表，你可能要在不允许带图表和计算器的部分做这个。所以你需要知道如何手动证明它。

如果它是递增的，那么这个图的什么是正确的呢?它越来越大，这意味着斜率是正的。所以你真正需要做的就是找出某一段内的斜率是正的还是负的，以及它是增加还是减少。你必须设定时间间隔。这里的区间是-4到-3。区间是-3到+1区间是+1到+4。你需要选择测试数代入公式。所以我提前选了一些。我选了-3.5，这是x值。我选了0和2。 -3.5 is in interval 1, 0 is in interval 2 and the number 2 is in the third interval.

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怎么知道斜率是正的还是负的?使用斜率公式。我要把这些代入。再强调一次，在AP考试中，如果是自由回答，你们会被要求出示一些证明。但证明不需要任何东西，只是一个小图表，显示你得到的结果。我用x值和f'(x)组成一个小图表。把-3.5代入斜率公式，结果是+2.25。确切的数字不一定重要。你只关心它是正还是负。

所以，作为你知道你在谈论的证据，只是写下它大于0.这是你可以去的足够证据，斜率大于0，所以这是一个增加的间隔。这种增加的间隔在-4开始，它进入但它不包括-3。它不能包括-3因为它停止在那里增加。你必须这样写。左侧关闭间隔，右侧的开放间隔。确保您获得的符号正确，您将在AP测试上进行评分。

下一节，如果我把这个0代入这个，f'(0)很简单，是-3。它小于0，说明斜率是负的，说明它越来越小这就是递减区间。这个递减的区间是在端点-3和+1之间。同样，它不包括这些，因为这些是斜率为0的地方在它为0的时候，斜率没有增加或减少。你必须这样写。开括号(- 3,1)

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最后一节，如果把2代入，斜率公式的结果是5。你不关心数字是多少，只要它是正数就行。它是正的，因为它是正的，斜率是上升的，它是一个递增的区间。递增的间隔从1开始，一直到4。不包括1，但因为它是关闭的，所以它包含4。

拐点和凹面。这比你刚才做的稍微难一点。当斜率增大或减小时，这是很明显的。拐点更难看到。它们是斜率停止增加或减少和反转的地方。例如，你沿着一条曲线走，它变得越来越陡。拐点是它仍然在变陡，但没有那么快。这有点难看。回到同样的问题。

拐点发生在变化率达到0的时候。这是二阶导数。我们要回到原始函数的一阶导数。它的二阶导是2x + 2。如果让这个等于0，就能找到拐点。我会在图上给你们看。拐点可能是也可能不是临界点。临界点是斜率等于0的点。这个是临界点。斜率是0，但这不是拐点。

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这是一个拐点，因为这是斜率不再变得更负的点开始变得越来越小。这是一个临界点，但不是拐点。这里的斜率似乎越来越陡，所以可能没有其他拐点。让我们来确定一下。

当斜率的斜率，也就是二阶导数，等于0时，就会出现拐点。0 = 2x + 2，很简单，1x = -1。这是我们唯一的转折点。我们知道拐点在x = -1处。它的y坐标，我只是在这里猜测。看起来大概是-1。某物

有时你会被要求给出整个点有时只是给出x坐标。我先在这里打个问号。凹性。凹度指的是它是向下呈负凹度还是向上呈正凹度。凹性可以用二阶导数来检验。如果把一个数代入二阶导数得到一个负的结果，就得到了负凹性。这个看起来像负凹，这个看起来像正凹。但我们会做一些测试来找出答案。我看着这个-3。这是-1和-4之间的一个很好的区间。 Test it out.

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同样的，你必须证明这些东西。我要像上一集一样做一个图表。其中一个区间的测试数是-3。我可以选-2或-3.5之类的。在下一个区间，0很漂亮。我们用它作为测试数。这张图说明了二阶导数。代入y''(-3) = -4。你不关心实际的数字，你只关心正负。它小于0，这告诉我们在这个点处它是凹的。 It's going to be concave down all the way between the end point and the inflection point. Concave down between -4, includes the -4 and -1.

但它不包括-1因为这是凹度暂时为0的点，换句话说，这是一个拐点。测试下一个区域。如果我把0代入二阶导数公式，我将会得到，很简单，二阶导数结果大于0。这就告诉我们这个区域是正凹的。它在-1，不包括-1和+4之间是凹的。它不包括+4，因为这是闭区间。我将在这里做一个简短的边注。

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请记住这一集的开始，我们正在谈论找到最大和最低限度？嗯，有一个细节我省略了这一点。斜率为0并不真正证明它是最大值还是最小，还有一点到它。在这里看看这个。请记住，您做第一个衍生品来找到一个关键点，然后你替换为0的0，以获得第一个衍生物。我们会快速完成这一点。

所以g'将是3x² - 12x + 12，然后你替换为g'。如果你这样做，你要找出的是，这个地方就是这里的一个地方，这是一个关键点。但看看图表。这不是最小的。这不是最大值。事实证明，如果您进行下一个衍生物，双衍生物，那也是双衍生物为0.所以，这既是关键点和拐点。如果它是一个关键点和拐点，那么你不能说它是最小或最大值。我们将继续使用第一个和第二个衍生测试来真正证明某些东西不是最小或最大值。

一阶导数判别法有一种方法可以证明有一个极小值或极大值。在自由响应部分，仅仅说这是最小值，这是最大值是不够的。你必须证明这一点。但不会花太长时间。再看这个小东西，我们必须证明这是一个相对最小值。你必须证明这个点是相对最大值。

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记得在本集的第一部分，我们做的是我们发现这些点的斜率等于0。当x = -3时斜率为0当x = +1时斜率为0。我们要用一阶导数判别法来证明它是极小值还是极大值，就是求出两边的斜率。我要做的是在区间内选取一些数字，然后找出斜率，然后解释它。我们再试一次，就像上次一样。

这次我们对斜坡进行关心，只是它们是否是积极的或消极的。第一个间隔是-4和-3之间，所以我会再次选择-3.5。下一个间隔在-3和+1之间，我要选择选择我最喜欢的号码，0.这是我最喜欢的号码，因为它太容易替换了。最后一个间隔在1到4之间，我想我会选择2.注意图表所说的，我们找到了斜坡，我们需要斜坡。

我将把这些代入斜率公式，这是结果。在-3.5处的斜率是16.25。很陡峭。0点的斜率是-3,2点的斜率是5。这些斜率证明了我们是否有最小值或最大值。看这边，斜率是正的，而这边斜率是负的。

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这是证明的一部分。如果临界点的左边斜率是正的，右边斜率是负的，这就证明了它是一个相对最大值。现在，我们证明了-3是相对最大值。这个区间斜率是负的，下一个区间斜率是正的。如果临界点左边斜率是负的，右边斜率是正的，就必须有一个绝对最小值，一个相对最小值。相对最小值是1。

最后一件事，第二次衍生试验。第二衍生物测试是一种证明最小值或最大值的另一种方式。如果在您已经完成了第一个衍生测试的问题上证明了最低或最大值，请不要这样做，你只会重复自己。但是一旦看到第二个衍生测试，您可能不会再次想要再次进行第一个衍生测试。如果您有一个相对的最大值，请查看凹盘，它指向向下。你真正需要做的就是把那个地方放入第二个衍生品，如果你得到负面的结果，它就凹陷，它是一个相对的最大值。

这是反向直观的部分。消极通常会给你最大。如果你能记住这个，它会为您节省大量时间。所以，我们将为第二阶段测试做些什么再次设置我们的图表，但这次在图表中我们不必做三个间隔。我们所要做的就是测试我们怀疑是最低和最大值的东西。这两个是-3和+1。

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我们要把它们代入二阶导数。代入二阶导数，y ' '(-3) = -4。结果-4是负的，它小于0。这证明了你是向下凹的，因为是向下凹的，这个点一定是最大值。用1。如果你把1代入二阶导数你会得到+4。+4大于0，说明它在这个点是向上凹的。如果它在临界点处是向上凹的那么你就知道它是一个相对最小值。相对最小值为1。

在这一集里我们已经讲了很多细节。在AP考试中，你可能不需要对一个问题做所有这些步骤，但为所有的问题做好准备是很好的，因为有可能某个较长的自由回答问题会要求你做所有这些事情。再次强调，如果他们这样做了，记住，把这些表格。某种证明你知道你在证明最小值，最大值，递增和递减的间隔，拐点和凹度。

还有一件事你需要注意。有时会出现这样的问题，比如你有一个绝对值函数它在V的底部形成一个非常尖锐的V，你不能对它求导。所以不能用一阶导数和二阶导数检验。你还可以用其他方法来解决这个问题。

如果你看一下额外的资料有一个很好的问题涉及到绝对值函数的所有这些步骤。确保你检查了那些奖励材料，它们都在里面，包括整个解决方案。
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