来自数据图表的图表

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欢迎回来。这次我们将涵盖它们经常在AP测试上覆盖的一些逻辑问题。您可能会被要求在您需要查看图表的问题，并引用有关斜坡，凹面，那种事物等图形的一些细节。或者您可以给出一个图表，并要求实际在自由响应部分上生成图形。无论哪种方式，你真的需要做好准备。

好吧，在我们开始之前，我对你开了个玩笑。这非常糟糕。所以，你知道亚瑟国王圆桌会议的最大骑士课程。是的，他的名字是卡弗伦斯先生。他从太多的馅饼那里得到了这种方式。一旦你从笑起来，然后重新打开视频，我们开始了。

它漂亮的是，测试的多项选择部分会要求您弄清楚一些细节，有关函数的一些信息，甚至不知道该功能是什么。所有他们要做的就是给你一个数据图表，你必须使用你对这样的事情的知识，平均值定理，斜坡，凹凸等，弄清楚函数的真实情况。

这里吗?这是一个小例子。我们吗?我们有一个函数，知道吗?S连续可微。了吗?这是一个重要的前奏细节。告诉我们没有?这里没有任何缝隙，没有渐近线。这里没有尖锐的点，因为?可微的。 So it can?t be an absolute value function with a sharp little v. It?s on the interval 1 to 5. It includes that. And what we have to do, is figure out which one of these statements is true.

我们将制作一个快速图表。它不需要有很多细节。这就足够把所有事情都放在上下文中了。当x为1时，f（x）-4。

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我刚把它放在这里，足够好。当x为2时，f（x）是1.当x为3时，f（x）为5. x为4，f（x）也是4.并且当x为5时，x为5，f（x）为-2。我会弄清楚这一点是真的。可以（1，-4）是这个的最低价值吗？让我重做这个，我把这个放下了太低了。它可能是关于那里的，（5，-2）。你知道它确定看起来像最低的赛跑者，对。

这里的一切都被设为陷阱。看起来很合理。它们看起来都很合理，但只有一个是真的。看起来是最低点，对吧。但你不知道它会在那里形成一条平滑的曲线。它可能会这样做。它可能从这里开始，向下移动一段时间，然后再向上移动。谁知道呢？所以我们不知道。这不可能是真的。

二阶导数,凹面。所以二重导数在这之间的任何位置都小于0。这是什么意思?S处处向下凹。听着，我们已经知道那个是假的。在这里吗?那是一小部分吗?凹。这是可能的，因为除了v或渐近线外，在这些点之间任何事情都可能发生。一阶导数,斜率。斜率处处为负，绝对不是。 There do have to be some sections of negative slope, because it goes downwards from here to here and here to here, but not everywhere. To go from here up to here there has to be a section of positive slope. That one is no good. So we are left with this one.

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现在，你可能已经用了大约三分之一的时间进入你的学年。这是一个关于中值定理的简短陈述。它说的是，不知何故，在某个地方，必须有一个数字，一个x数字，你可以把它放到导数公式中，这样你就得到了½的斜率。这就是为什么这是真的。中值定理说，如果你取一个区间的端点，找出它们之间的斜率。记住，这不是天平。但是如果你找到了它们之间的斜率，那么在这个区间中肯定还有其他的地方，如果它是连续的，并且在斜率相同的地方是可微的。

如果你看这个端点，从-4到-2，上升是2。从1到5，跑数是4。2/4这是坡度。2/4等于½。因此，由于端点之间的斜率为½，因此在某处必须有其他点。谁知道在哪里？也许就在这里，坡度是一样的。

还有一个练习问题。这是另一种类型的多项选择问题。您可以看到功能f是可差异的，严格递减。这意味着整个事情，没有差距，没有渐近的渐近，它总是在该间隔下向下。那么哪一个可能是2的斜坡山谷？让我们再次制作一个图形。不得不好。就足以让事情放在上下文中。（1,30）起来。这次我要把数字放进去，因为我们将在此时间内使用它们。 (2, 25) up. Okay, there is (2, 25).

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(3,23)和(4,22)。在我看来，斜率是递减的。但它总是在这个区间内减小。问题是，哪个是f'的值?因为它吗?S严格减小，可以吗?没有任何地方会反弹。它总是向下。

在这里和这里之间，如果我用直线I连接?D得到斜率。我们不?我真的不知道吗?这当然是一条直线。但这条直线会给我们一个模型。在这里和这里之间，有一个不同的斜率。在这里和这里之间，斜率开始时很负，然后逐渐减小。

这个点的斜率应该在这两条线和这两条线之间。所以它必须是连续的。我要做的就是，求出这两个斜率。对于这个，横移是1，纵移是-5。你们知道25 - 30。所以这部分的斜率是-5。而这一部分，在25到23之间上升幅度是-2。横坐标是1。所以这部分的斜率是-2。当你在考试中看到这些问题时，它是什么?S总是很简单的数字。 Because they tend to throw the easy in on the part where you can?t use your calculator.

这里和这里之间是-5。这里和这里之间是-2。

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在那里的某个地方的斜坡越来越少。这里唯一合理的数字在这里。你真的知道那个值，但它必须在-5和-2之间的某个地方。

在自由回答部分，你可能需要做的另一件事是，根据你已知的一些信息，生成一个完整的图或估计图的样子。给出的信息总是关于图像上的实际位置，斜率，凹度。让吗?年代看。

这里的目标是根据表中的信息得到一个合理的f(x)图。还有吗?有很多可能发生的事情。你可以有不可区分的位置。你可以有渐近线，你可以有最大值，最小值，一切，拐点。

你有不同的区间，在每一个区间里你都有一些信息。已知斜率和二阶导数。二阶导数告诉了我们凹性。一阶导数表示斜率。0也能告诉你很多。例如，看斜率列中所有的零，一阶导数，如果一阶导数为零，那么图像上一定有一个点是平坦的。一个关键时刻。

二阶导数，当二阶导数为零时，必然是拐点。也就是斜率越来越正，斜率越来越小的点。所以它吗?S是它停止增加的地方，或者相反的是斜率停止减少的地方。

首先，我们想要锁定我们实际得到的位置。

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我们得到了这个点，这个点，这个点。我要在图表上加一点刻度。看起来我必须在-2和+3之间。一，二，三，我们不需要太多细节。应标记轴，并至少标记一个图案填充标记，以便具有图形的比例。你不需要给它们都贴标签。

上上下下，我们必须达到-5，而不是那么高。1 2 3 4 -5，我们?我要往这边走一些。标上刻度2。标记坐标轴，让?年代。当x = -2时，f(x) = -3。(-2， -3)在这里。在我们继续之前，让我们?在什么地方?这地方是真的。我们知道吗?s a levelling off and we also know that it?s an inflection point. I?m going to label this IP.

现在在这里到了一边，我只是为了向你展示这个地方可能发生的事情。我们还没有填补它，因为我们不太了解图表。但是一个地方的一个地方和拐点，可以像这样。那是一个最小的练级。它可以像这样，那是一个练级，那是一个升级，那是最大的。这是斜率为水平的地方。它必须看起来像这样。斜坡越来越少，它水平缩短。但是它不会蘸退，它开始再次备份。或者它可以这样做。 It?s going to be one of those two at that location.

当x = 0时f(x) = 0。让吗?let’让我们把那个锁住。这个点的斜率是正的。它吗?这也是一个拐点。让吗?让我们来标记一下这个拐点。

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接下来，当x = 1时，我们不知道?我们没有位置，可以吗?我感觉不到。我们吗?“我只知道那里一定发生了什么事。看起来像吗?这是临界点。当x = 3时，f(x) = 0，把这个写下来。这也是一个拐点。现在我们可以开始研究这个图的更多细节了。分钟和最大值。

记住，根据一阶导数判别，最小值和最大值，发生在两边斜率不同的时候。或者凹面是正的还是负的。对于这个，这个临界点两边都有斜率的幂。这是什么意思?它既不是极小值也不是极大值。两边斜率都是正的，好了。我们在做生意。我们知道经过这个点，它是向上的。但它暂时趋于平稳。我赢了?t fill in any more graph yet. Now let?s go to this spot right here.

这个点的斜率是正的?这是一个拐点。这个有点不同。它吗?这两个都不是。这些是最令人困惑的。它吗?这是一个凹面不得不暂时改变的地方。但是一直到这里，斜率仍然是正的。它吗?S是这样的。 Very weird.

有一个拐点，斜率暂时不变。通过这里，斜率变得越来越大。整个这里，凹面都是阳性的。然后这里凹面变成了负的。但一直到最后，斜率都是正的。

第二点,让?年代看到的。我们知道在1点发生了一些事情。

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我现在必须把它写在图表上。即使我真的不知道它发生在哪里。我知道坡度暂时为0，凹度下降。这就告诉你，这是必须的。这是一种直觉，但二阶导数测试已经告诉你它必须是一个最大值。当坡度瞬间为0，凹度下降时，它会达到最大值。

另一个测试是看两侧的斜坡。它会做这样的事情。它会达到那个地方，然后向下回转。并在左侧看。在0到1之间的左侧，斜率为正。然后突然，在1到3之间的斜率变为消极。所以它倾斜后来。那是另一个迹象，它是最大的吗？标签为最大值。这是一个当地的最大值，因为我们不知道它是否是全局最大的。

好吧，让我们看看，下一个地点就在3点。整个过程的坡度都是向下的。凹度瞬间为0。它在其中一个地方结束了。这里的坡度一直是负值。凹度暂时为零，然后凹度变为正。看看1和3之间的间隔。这里的凹度是负的，是向下的。然后在3和无穷大之间，它是凹向上的，所以它必须是一个向上的弓形。

现在我们还有一件事要看。当x趋于∞时，f(x)越来越接近-5，但永远不会到达。然后它从上面进来。这是水平渐近线的符号。在5。

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绘制的，然后表明它正在朝着渐近的渐近升级。我想我们只是做了，但我们需要检查一些更多的东西。你真的应该望着这个间隔来确保它做到了它应该做的事情。在负无穷大和-2之间，斜率始终为正，凹幅始终为负。所以告诉我它必须这样做。

让我们看看这是否合适。这里和这里之间的斜率为正，向下呈弓形，所以凹度为负。下一个介于-2和0之间的间隔。它应具有正坡度，并向上凹。看向上，凹向上，我们很好。在0和1之间，一阶导数为正，因此斜率为正。它向下呈弓形，向下凹。它向上移动，所以它有一个正的斜率和一些向下的弓形。这就是负凹度。

下一部分在1和3之间。它必须同时具有负斜率和负凹度。向下移动。弓状向下。最后一个，总是向下移动，斜率为负，但弓形向上。这个案子结束了，好吗?让我们看另一家吧。

在这里吗?这是另一个问题，根据表中的信息，我们被要求给出一个合理的图f(x)。你注意到了吗?i don’对此我不多说。它没有?你不这么说吗?S处处连续或处处微分。在吗?可能会发生一些奇怪的事情。这是一个更高级的问题。它吗?s got some odd things you have to be aware to look for.

让吗?让我们像上次那样开始吧。我们需要在图上画一个小比例。我知道横轴应该在-3和+5之间。所以我们吗?S代入1 2 3 4 5。标签你的轴。

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至少标记一个点，给出它的比例。我必须在-4之间。+2需要在竖直轴上有一个最小值。1、2。我当然不喜欢?我们还没到此为止，但我们只需要锁定几个点。

现在让我们看一下确定的点。他们肯定是-3，-4。把它放进去。我们马上就回来。那里发生了奇怪的事情。不存在的衍生品。（0，2）另一个确定点。就这样，这一次，所有这些都是为了明确的要点。

现在这里发生了真正奇怪的事情。看看负无穷大和-3之间的间隔。这里的坡度一直是负值。它向下倾斜，这很奇怪。看，双导数是零。凹度为零。如果凹度为零，它就不能像这样弯曲。它不可能像这样弯曲。不，这不是曲线。你没有在上一部中看到吗？

在我们所做的最后一个例子中，第二个衍生品为零的任何地方都是一个明确的位置。这不是一个拐点。这是一个拐点，它是一条直线。我们不知道斜坡是什么。他们没有告诉我们。所以我们才能绘制合理的东西。那个有一个负面的斜坡，这是所有所需要的。

在-3处，一阶导数没有?t存在。导数不存在的唯一位置是什么?t的存在将是渐近线或V?所以它吗?这是连续的。但是这个地方?这是一个无限尖锐的点。它吗?例如，这里有绝对值。

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在它右边的区间内，我们知道它一直向上。但它吗?年代向下凹。我们必须这样一直到0。所以它吗?它正在上升，但它?年代向下凹。我们得到了这样的结果。

现在(0,2)这个点的斜率是正的。换句话说，它?这不是最小值，是吗?这不是最大值。它吗?这不是一种平衡，因为它?这不是临界点。临界点出现在一阶导数为零的时候。但二阶导数是零。所以这是一个拐点。这是一个凹面变化的地方。了吗?这是一个拐点。 So at that spot it has to be going from concave one way, to concave the other. It has to start tipping back up again. I don?t know how fast but that?s enough for now.

现在，下一个奇怪的地方。你没有吗?在上一本中我没看到这个。5不?在公式里根本行不通。对于这个，-3确实对公式做功。它确实给我们带来了一个结果。了吗?it’那是一个尖角，这是我们的线索。它吗?s got an actual location but the derivative doesn?t exist. This one right here, it doesn?t have any actual location. This is the sign of a vertical asymptote at 5. So, sketch that in before we do any more graph. A vertical asymptote.

现在看看它的两边。这就是说，当你接近5时，从小于5的数开始，函数一直向上。一阶导数，斜率是正的，二阶导数也是正的。所以它吗?向上。斜坡是正的，向上凹。它吗?我们必须这么做。

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永远向上，向上凹。斜率是正的，好了。现在是另一边。当你从正方接近+5时，这里?what’发生了什么事?这些可能会让人困惑，因为你不习惯从右边画图。你通常从左手边画。但是当你接近它的时候，你会变得越来越负。斜率是正的。让吗?现在试着忽略它，因为这真的会让你迷惑。 And it?s concave down.

我们只知道当我们接近5时，它?越来越负了。所以它吗?我们必须这样做。它吗?S随着距离越来越近而变得越来越负。现在来吗?我们回去再检查一下斜率。

看，一旦画出来就更有意义了。正斜率哦，是的。当你从左向右移动时，它向上移动。这是一个正斜率。让我们再检查一下凹度。向下凹，这意味着它必须向下呈弓形。当你走向无穷大时，斜率总是保持正值。凹度都保持为负值。事情会是这样的。

这一次，我们讨论了要求您从数据图表中找出有关函数或图表的信息的问题。我们做的前两个问题涉及到推断细节的方式和多项选择题一样。这些是特别难的问题，因为它们是在理论上检验你的?有很多可能的变化。你要知道，这些特殊类型的问题，在真正的AP考试中，学生答对的几率相对较低。所以你要继续尝试。

试试奖励材料中的那些。试试美联社官方网站上的那些。试试看。要做到这一点，你需要知道什么是严格递增，严格递减，分钟，最大值，拐点等等。

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再次感谢大家的收看。幸运的是，你的微积分知识在不断增长。如果你足够幸运，你的微积分知识是向上凹的。