内隐分化

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当你不能解一个单一变量的方程时，你会怎么做？叫一个鬼杀手？那可能比你的时代早，伙计们。无论如何，如果你不能解决一个变量，你仍然可以做隐式微分。这是一种非常酷的技术。

隐式微分可以区分任何类型的关系。在这一集中，我们将向您展示它确实有效。在我们向你们展示了它确实有效之后，我们将尝试一些练习题。然后我们继续做二阶导数。那么，让我们试试看。

别开玩笑了，是的，真的很管用。让我们试试看。这个问题要求你们找到关于这个小方程x的导数，你们注意到了吗？这并不像我们通常做的那样为y解决。谁在乎呢？内隐分化？谁在乎呢？看我们做什么。我们从y-x²相等开始，我将在这里留下一点间隙，间隙是有原因的。

还记得你在代数中学到的第一件事吗？无论你对一边做什么，你都必须对另一边做什么？我要把一个导数看作是对两边都要做的事情。很奇怪，但它是有效的。我的目标是得到dy/dx，所以我要做的是对两边x的导数，像这样。d/dx。我要把它放在括号里，因为它必须对整面进行。如果我做的是一边的导数，我必须做另一边的导数。所以你的d/dx是5。好了，现在我们可以进城了。

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这里有一些东西，它是它的一个关键组成部分，是一种全新的。我们必须做这两个的导数，x²的导数没有问题。但是y对x的导数，它甚至不是同一个变量。现在，你要做的是暂时假设这是x，然后做它的导数。y的导数是1。单个变量的导数为1。但你不知道y和x的关系。所以实际上这就像链式法则。就像y是由一堆x组成的，里面有一堆东西，你也要做它的导数。但我不知道y和x的关系，所以我只能让导数像这样保持未完成。

所以我必须对x做y的衍生品，但我不知道该怎么做，所以我只是要这样离开。现在让我们做那个衍生品，这很容易。-2x和在这方面，任何常数的衍生物为0.我们几乎完成了。认识到？这只是另一种说出衍生品的方法。我要为这个分数解决，我已经完成了。

让我们看看我们在这里有什么。我们将增加2倍两侧，我们得到Dy / DX等于2x。在下一个幻灯片中，我会向您展示这真实的神秘技术真的有效。我要做的就是解决这个问题，并以我们通常做衍生品的方式做到这一点。所以我要找到那种衍生品，我要为y解决。你可能是现在想知道，你为什么不刚刚解决Y？这很容易做到。对于这个，你可能会。

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因为导数很容易做，所以很容易解出y。该边的导数为0+2x。我们得到了同样的答案。这当然与莱布尼茨符号中的dy/dx相同。所以我们得到了同样的结果。内隐微分法的酷之处在于，有时你会遇到一些很难用y来解决的问题，你甚至不必费心。

所以你可能在思考，是的，帖子说这是惊人的，很棒，但我什么时候会使用它？当您要使用时，当您处理微分方程时。我们稍后会在这一集中进行一些简单的微分方程，并具有相关的速率。相关利率是一个很好的主题，他们是一个大的话题，足够大，我们将用另一个集会解决它们。所以让我们尝试一下。

这是一个在没有隐含区分的情况下真正不想这样做的那个。因为要经常这样做，你必须为y来解决它，但这会很难，因为你有一个Y³和一个因素。解决y真的很难。我们甚至不想尝试。我们要做的是设置它。所以让我这样做，我们会有d / dx。d / dx（yâ³+ 2y +4x²）等于d / dx 7.记住我稍后一段时间的说法，我们真的使用链规则。它看起来像它，但我们是。让我告诉你为什么。让我们说我能够解决这个问题。 I'm just going to make something up. This isn't really what y would be.

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假设我能解出y，结果是y等于x的九分之四次方减去x。我知道y是什么，我要用这个表达式来代替y。所以我有dy/dx，这个y必须被x替换成4/9减去x。它有三次幂，所以这里的整个量是y加上。

假设你已经替换了这个，你说，现在我要用你惯用的传统方法来做导数。比方说，我要做这个的导数，但这里不只是x。所以我在前面取3，把幂减一，然后我要对里面的东西求导。这就是链式法则。

现在，如果是这是你，你可以继续做到这一点。但这不是。我们不知道它是什么，这只是y，我们不想试图找出y是什么。这是链条规则因子只是与x的导数，你将这种情况留下来。现在让我们做这个问题。所以我要再打了一个时间。我们有d / dx（y¼+ 2y +4x²）等于d / dx 7.你可能想知道，那里有两个变量，为什么我选择把dx放在底部？只是因为我告诉过你了。你可以在他的等式中完成Dy / DX。这是可能的。 But we won't in this case. Later on though we will be doing a derivative with respect to other variables.

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所以这个的导数，如果这只是简单的老式x，它的导数应该是3x²。我们要假装它是，所以它是一个衍生物。这是链式规则的外部部分。它给我们3y²，但这是链式规则，因为这与我们推导的变量不同。所以我们必须有时间dy/dx因子。如果这是2x，它的导数是2。所以我们要假装它是x。它的导数是2，但它不是x，所以我必须回溯并加入dy/dx因子。它的导数是8x，另一边，常数的导数是0。

我们的目标是找出x的导数。我的下一步，想一想，我们将得到其中两个，我要做的是，解决它们。既然有两个，我就得把它们算出来。我要从两边减去8x。在这方面，我剩下的是两个因素，其中包含dy/dx。我要把它分解出来，二项分解。看起来像这样，我们有dy/dx，如果我把它从这个表达式中去掉，我得到3y²。把它从表达式中去掉，我得到2，我们就快完成了。

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是dy/dx乘以整个括号。我需要做的就是把两边都除以整个括号，你就得到了答案。这个问题的最终答案是dy/dx等于整个量的-8x，3y²加2。就在那里。如果你想跟进解决方案，奖励材料包含跟进，将有这些解决方案的实践问题，我们做。在这方面，我们还可以做进一步的阐述。

这与一步一步相同。您可能会在AP测试上询问，并在特定位置找到这样的等式的斜率。这是在这里我之前解决的是，如果我们用隐含区分做到这一个的衍生物，你得到dy / dx等于-4x / y。你可能想在一点点练习中尝试这个。这些是相对容易的。让我们看看发生了什么。你认识到这种形状，这是一个椭圆形，你一直在做成绩2.让我们在这里做一点图，看起来像这样。如果您要去，请在x等于1，1的斜率在此处在图中，x等于该点。你在-1左右的某个地方得到一个斜率，但是，X也是如此。

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这是可以发生的，因为这是一个关系，不是一个函数。在这个点上，你的斜率是+1或者类似的。所以你可以得到两个答案。看我们这里得到的，斜率实际上需要使用x和y，x和y都在其中。为了继续下去，你需要做的是得到两个坐标，x和y坐标，以便现在找到斜率。

之前你们只需要x坐标，因为你们有只涉及x的斜率公式。这一个也涉及y，所以这个位置是1，如果我把1放入这个公式中，我们会得到y等于3。再检查一下，是的，我们在做生意。对于这个位置，斜率是-4，x位置是1/3。所以这个的斜率是-4/3。如果我算出这个，它的坐标是（1，-3）。如果我再使用一次斜率公式，我得到了当x等于1时的第二个斜率，这个结果是+4/3。

二阶导数。哦，太痛苦了！嗯，这些有点长，但你可能会被要求做一个。所以你要确保你已经练习了其中的一些。二阶导数是导数的导数，换句话说，是斜率或斜率的变化率。下一张幻灯片将向您展示这些步骤。您可能希望从奖励材料下载这些内容，以便跟进。

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我们的目标是做这个形状的二阶导数，x²+y²等于36。那是一个圆圈。注意这是怎么写的，有点滑稽。正方形在d上，但它在下面的变量上。事情总是这样，所以别担心。

以下是步骤，前两个是我们已经实践的，做了隐含的分化，然后求解DY / DX。接下来，您可以再做一次隐含区分，然后您通常必须替换为y'。然后有时你甚至必须一路走回原始方程并替换它。

我要做的第一件事是，这个的一阶导数，我要把它写在这里。所以我们必须做x²+y²的d/dx，这必须等于36的d/dx。x²的导数是2x，现在是y²的导数。记住这不是同一个变量，y和x是不同的变量，这才是最重要的。我们要做导数，就好像它是x²，那会给我们2y。但因为它不是x，我们需要链式规则因子dy/dx。我们还在做第一个隐式微分。另一方面，36的导数，是一个常数，它只是0。但不要指望那一边的导数总是0，我们已经做过的两个问题就是这样。

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我们做微分，我们现在必须解决dy/dx，这不会花太长时间。事实上，你可以在脑子里做这个。dy/dx我会从两边各取2倍来做这件事，然后在这一边还有2倍的dy/dx。因此，将两边除以2y。这2除以x/y，我将取这个负号，放在分数前面。所以dy/dx等于-x/y。

我还要做一件事，当你做二阶导数时，这会节省时间。我们要开始写，这个符号有点长，所以我要开始使用牛顿符号，我称之为y。所以y’等于-x/y。好了，你已经完成了第一步和第二步。我们将继续执行步骤3。第三步是再做一次这个的导数。所以我要做y的d/dx，它必须等于-x/y的d/dx。两边的二阶导数。y'的一阶导数是y'。我们这里也使用链式法则。看起来不像，但我们确实是。这个的导数是dy/dx的1倍。在这里，停下来看一下，这会让你困惑。我们要做-x/y的导数。我们在划分变量。

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回想几集。当你对被除数的变量求导时，你使用哪条规则？商法则。这会让你大吃一惊。不仅是商规则，这里的变量和我们求导的变量不一样。所以我们将有一个链式规则作为它的一部分。这是商和链规则的组合。商法则是第一位的。

所以你记得商规则要求你做上半部分的导数乘以下半部分的非导数。这个负号，我先把它拿出来，这样我们以后才能处理它。这是我们可以考虑的一个因素。上半部分的导数，是下半部分y的非导数的1倍。现在我们要做商规则的下一部分，就是减去顶部的非导数，分子的非导数，乘以分母的导数。分母，它不是同一个变量，所以它的导数是dy/dx的1倍。通常我不会费心写出1，但我想这样做，因为我真的想让大家明白，我们在这里使用的是链式规则。我不写dy/dx，而是写y'来节省我们一些写作时间。

商规则的最后一部分是分母的平方。那就太好了。我们就要完成了。我将转到下一个屏幕进行替换，因此我们必须取下这个y'并将其替换掉。同样的事情，我只想再写一次。y“是-y减去xy”除以y²。

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记住，y'was-x/y，下一步我必须替换它。这是-y-x乘以-x/y。有点简单的事情要做。这将需要你有共同的分母。在这里，这个分数将变成负的负的，也就是正的，+x²除以y。这一个就在这里，这是y，这是y/1，所以我要乘以y/y。这个y变成了y除以y，它都在y上，所以现在你可以把这两个分数加起来除以y，我们就得到了最终的结果。

最终结果将是--yâ²+x²遍布Y³。深吸一口气，让自己平静下来。回到这些步骤。如果你是有条不紊的，那么这些真的并不太糟糕。

我们刚刚做了很多关于内隐微分的有趣的事情。我们首先解释它是如何工作的，证明它是工作的，做一个简单的例子，一个更复杂的例子。我们找到了椭圆上几个点的实际斜率，最后我们做了一个二阶导数。但是你的头脑现在可能仍然在花钱，所以休息一下，放松一下，然后很快回来看相关利率集，因为你将在相关利率中使用这些技巧。
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