集成:替换法

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有很多方法可以处理更复杂的积分从分部积分到三角替换，再到代换法。最后一点，也是最重要的一点。你几乎肯定要用到它。它被认为是相对基本的。代换法的作用是，它真的很酷，我喜欢这个方法。它基本上把用链式法则求导的结果消去了。我通常叫它UDU。这就像一首美妙的歌曲。

当代换法适用于一个问题时，它非常漂亮。这招很管用。就太棒了。让我们看一下步骤。在替换法中，你要做的第一件事就是选择一个可能的值，你要定义的积分的一个可能的部分，是u，这就是它的艺术所在。你要决定u是什么，有时这可能有点棘手，直到你练习过。然后求它的导数如果求它的导数就必须求出du的导数。

这样做的原因是你需要替换。如果你选对了u, u和du的所有部分，所有的变量部分都会出现在积分中准备好做替换。如果不是，你必须为u选择另一个值，然后再试一次。最后，代入之后，对它积分然后重新代入原始变量。现在我们来做一些涉及到代换法的习题。

记住，我们的第一步是为u选择一个可能的值，这也是艺术发挥作用的地方。你可能会说，“我想让你是3x²。”我选这个，因为它不是，我要告诉你们如果选错了会发生什么。

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如果你想让u=3x²然后让u=3x²两边同时求d/dx。在这边，du/dx等于，现在d/dx (3x²)等于6x。然后你可以把dx看成分母。两边乘以dx，就得到了du替换。6新。当你这样做了几次之后，你通常不会写出所有这些步骤。你通常只用这个，因为你知道无论如何你都要解出dx。

现在问题来了，我们有了3x²我们可以用u代入3x²，但是我们没有du的任何东西。你必须有另一个6x在那里，让它发生，但它不在那里。还有其他的东西。所以我们选错了值。让我们再试一次。

看这个7次幂，通常当你有一些非常复杂的次幂或者根号下的东西时，这就是你对u的选择，所以我选u为x³+1，不是7次幂，只是x³+1。对它求du，得到du = (x³+1)= 3x²。然后是dx因子这是通过这些步骤得到的。现在我们可以去看一看。这是3x²和dx。

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这两个等于du。7次方下面是x³+1。这次我要重写它的顺序，因为通常乘以不同部分的组合，du会让你迷惑。重写这个积分，我把x³+1的7次方放在前面。然后写上3x²dx。也就是乘以3x²dx。注意，我只是取了积分改变了乘法的顺序，你总是可以改变乘法的顺序的。

这里的这一部分与du的值完全相同。所以我可以用du来代替它。这一部分确实有你没有的东西，但没关系。我可以把括号里的东西换成u，然后第七次方的作用是u，而不是我。那是个笑话。

看看这个，很简单的积分。记住，对于基本的积分，你是在消去导数。当你消去一个导数时，就多了一个次幂。记住，导数的乘方在前面，作为一个因子，然后把乘方减1。那么u ^ 7等于u ^ 8，记住，积分中总有一个修正因子。因为如果对u ^ 8求导，就会得到8u ^ 7。这里没有8。

唯一不能得到8的方法是乘以1/8。

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如果我求导的话，8会乘以1/8消去这个因子然后得到u ^ 7。这个小细节是你们永远不要忘记的，特别是在自由回答部分，因为他们会因此而扣你，加上常数。当你消去导数时，就会得到一个正常数。除非你在做定导数的时候你的定积分或者你在代入数字。看看我对它求导，任何常数的导数都是0，不管它是什么。如果常数是600万，它的导数仍然是0，它就不会出现在积分下面。

话虽如此，我们就快完成了。我要做的就是替换法的最后一步，就是重新替换u，所以最终结果是1/8,u = x³+1，加上你的老朋友常数。

在下一题中，你的困难还是决定u是多少。现在你可以把u写成cos3x，因为cos3x的导数是sinx，问题是，sin在分母上。如果你选择cos3x，就没有你需要的部分。我要做的是选择sin3x作为u的值u = sin3x。

现在当我做du时，正弦的导数是余弦，别忘了这是一个问题，你要做链式法则。所以3x的导数是3，du的计算结果是3余弦3xdx。

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现在让我们看看我们有什么。我会再写一次，让事情变得更清楚。我可以把这个分数分成一个分数乘以另一个分数。我们将得到1乘以正弦3x的平方根乘以3xdx的余弦。3xdx的余弦等于du。

现在你必须避免的一个诱惑是，假设你做du结果是你需要的一些分量缺失了。有时候还可以，有时候就不行。我们没有需要的3，这没关系，因为它是常数。但是如果du需要一个变量，它不在这里，就不能代入。积分里不能加变量。你可以代入常数因子。所以我需要一个3来替换du。我要在这里乘以3。我想我得把它放在前面。当然一个数乘以3是不可能不变大的，所以我要通过同时乘以1/3来抵消。 So we put in an extra factor that we needed and then we correct it for doing that.

这个3，还有cos3xdx所有这些因子都等于du，把它替换掉。

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和1乘以正弦3x的平方根。正弦3x是u，所以我可以在那里代换，那是u的平方根的1，记住3已经消失了，但是前面仍然有1/3。现在我们准备好集成了。在我积分之前，当分母中有东西时，最好是分数次幂，多项式。1除以u的平方根，等于1除以u等于1/2，等于u等于-1/2。

这是1/3乘以u ^ (-1/2) du的积分。我这么做的原因是积分更容易做，如果你能数幂的话。甚至这也可能有点棘手。但是要记住，这个幂加上1，如果-1/2加上1，就得到+1/2。这是我们需要修正的1/3因子。再来一次u ^(-1/2)等于u ^ (+1/2)好的，不要忘记积分的基本修正因子。

如果对u ^(1/2)求导，结果就是1/2 (u ^ (-1/2))但是这里没有1/2，所以我需要通过乘以2来修正它，这是修正因子，加上常数。最后要做的是，重新代入u，最后的结果是，1/3乘以2等于2/3，乘以sin3x ^ (1/2)

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我要让1/2次方等于根号因为我们从根号开始，在区域问题中的根号形式。它只需要一个符号。我们有根号下sin (3x)加上你的老朋友常数。

现在看看这个，这个很狡猾。你看到根号下的所有东西你会想，“我们很幸运，我们可以用代换，我们可以用UDU。”是的。但如果你这么做了，那就没用了。如果让u = 2x³-7，那么du = 6xdx。这里没有6x，你不能代入，因为它涉及到变量。这很狡猾。它是二项式的平方。

记住二项式的平方，是第一个项的平方。(2x³)²是4x的6次方加上第一项乘以第二项的2倍，所以2x³乘以-7乘以另一个2就得到-28x³。如果取-7的平方，得到+49。看看这个漂亮的式子它只是一个普通的要积分的多项式。

记住，当你有一个积分的多项式时，你实际上可以分别积分每个子部分，这就是我们要做的，因为我们需要不同的校正因子。

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所以这次我要把这个写出来。我们有4x到6减去下一个积分
将是-28x³。当你有一个常数因子时，记住你可以把它作为一个乘数，一个规则因子从前面拉出来。是的，我把dx应用到所有这些，因为我们把它们都整合起来了。现在每一个都是一个独立的积分。最后一个是49dx的积分，我本可以把49从前面拉下来，但我没有，因为我发现在积分后面除了dx之外没有任何东西更令人困惑。我们快完成了。再乘以一次幂x到第六次方等于x到第七次方，其修正系数就是导数的修正系数。x对7的导数是7x对6的导数。所以我需要一个1/7的修正系数。别忘了还有4个我没有提前退出，即使我本来可以退出。

下一部分是-28乘以x³的幂，也就是x ^ 4。4次方的修正因子是1/4。最后一个，49的积分。49是个常数，等于49乘以x的0次方，再乘以x的0次方等于x的1次方。49x ^ 1，这次我们不需要修正因子因为x ^ 1的导数就是1，加上常数。

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您可以指望在AP测试中使用替换方法，这几乎是可以保证的。接下来我要向大家展示的是，变量的变化要高级一点。这是替代法上的又一个步骤。你可能不必做这个，但最好做好准备。

所以它需要做更多的工作。首先取积分的一个可能的部分，定义为u，求导数，然后求x的u。求dx的du。然后你看看你是否在替换你需要的人。你替换，或者如果这不起作用，如果需要，你选择另一个u，然后你整合它并重新替换它。好的，这个问题是一个，你在看这个，然后决定，“我想我可能需要替换法。”然后你去选择u=3x+1。但在你这样做之后，du将只是3dx，你就不会有你需要的2x到第四个因子。所以直接替代法是行不通的。但是变量的变化，这将是不可避免的。我还是要选择u=3x+1。

通常在其他函数下面的都是u，所以我选u=3x+1，然后我就能求出du是多少。这次我要回到第一次讲完之后我没有用到的基本方法。两边都是du/dx。两边的du/dx等于3，因为3x+1的导数等于3。

接下来，这就是它不同于碱性置换的地方。如果你现在代入，就没有你需要的部分了我需要做的是解出这两个x。

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如果我取u=3x+1，然后解出x，两边都取1。两边同时除以3。得到x=(u-1) / 3。与du/dx交叉相乘，得到du = 3dx，然后解出dx。得到dx=1/3 du，这不是负号，这是相等的。dx等于1/3du。

这看起来不是很有希望，因为它看起来太复杂了。最后得到这些分数。但是当我做替换的时候，看看会发生什么。我们看一下，2可以提到前面。这样做总是一个好主意，因为它将帮助你避免像这样的因素与修正因素纠缠在一起。

接下来，我要把x换成(u-1) / 3。这张脸很紧，读起来有点难。这是四次方根，不是x的四次幂，所以x被替换成(u-1) / 3乘以，我得到了3x+1的四次方根。我把它写成1/4次方。下面的式子，3x+1=u，是这样的。

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所以它等于u 1/4次幂。这整个单位是u ^ 1/4。记住替换法，当你要消去dx时，你是通过找到组成du的因子的组合来做的。但这次，剩下的，唯一没有代入的是dx。把dx换成1/3的du。

现在，我们得把它清理干净。分母上有3。它们只是常数因子，所以我可以把它们提出来。3乘以3等于9。所以前面有一个2/9因子。然后是(u-1) * u ^ (1/4)这看起来不错了。我们现在不需要再做替换了。可以把1/4乘到括号里。现在我们有2/9乘以积分，u ^(1/4)乘以u ^(5/4)等于u ^(1 + 1/4)乘以u ^ (5/4) u to the 1/4 times -1 is -u to the 1/4. We've got du on it. Polynomial easy to integrate.

不像我一分钟前做的，我不会花时间把它分成不同的积分。我将把它作为一组部分来处理。所以我需要记住，当我做这个的时候，2/9要乘以所有的东西。对u ^(5/4)积分。5/4 + 1 = 9/4。

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得到u ^ (9/4)如果对u ^(9/4)求导，结果是9/4,u ^(5/4)但这里没有9/4。忽略外面的那个，因为2/9和这个没有关系。还需要修正因子(4/9)减去u ^(1/4)的积分是u ^(5/4)的1次方。修正系数是4/5，加上你的老朋友常数。

我知道我把常数放在外面坏了我，事实证明这很重要。从技术上讲，它应该在里面，因为这些括号包括积分，但从长远来看，这并不重要。这并不重要，因为如果你把一个常数乘以2/9，你得到的只是另一个常数。你不在乎常数是什么，它只是一个数字。

在我们能解决这个问题之前，还有最后一件事要做。当然要用3x+1替换u。别忘了这么做。在这种情况下我不会这么做。但如果你提前看一下奖金材料，你会发现它都为你写好了。

记住，即使你一直在用代换法，你也不会找到一个题目说，“对这个问题用代换法。”你会发现它被问题掩埋了。例如，如果你看一下微分方程的习题，你会发现其中一个要求你用代换法，来解微分方程。

在我们走之前，我给你准备了一些有趣的东西。加州理工获得了荣誉，它被称为加州理工微积分图表。没人知道它从何而来，但它很棒。

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你能想象大步走进AP考试，锁步唱着微积分图表吗。我们去加州理工学院的微积分讲座吧。E的x次方E的x次方E的x次方E的x次方E的x次方，3.14159 sec cos tansin，微积分啊!