限制

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极限是我们在微积分和AP测试中所做的一切的基础，它总是问你一些问题。在选择题部分总是会有一个或两个，通常是在不需要使用计算器的部分。首先，我们将回顾一些基本限制。然后我们将继续做一些你可能在AP测试中看到的更复杂类型的问题。让我们开始吧。

基本限制。让我们看看很少。基本限制有4种水果口味。你有有限的数字除以无穷大，你有有限的数字除以0，你已经被无穷大，除以现在，0除以0.这些都是不可能的情况。

怎么除以无穷?嗯,你不能。这就是极限的由来。怎么除以0?你真的不能。这就是为什么需要极限。极限是找出不可能的数的方法。你几乎可以到达那里，但永远不会到达那里，除非你无限接近。这是第一种，有限除以无限。这有点难。 100,000 divided into an infinite number of parts. If you divide 100,000 into one part, you get 100,000. You divide it into 10 parts you get 10,000. If you divide it into 100,000 parts you get 1. So the bigger the number on the bottom gets, the smaller the result gets. But if you divide 100,000 into an infinite number of parts, each of them has to be infinitely small, in other words, 0. So anything that's finite divided by infinity, always going to be a 0. No matter how big it is. This could be 62 billion up here and if you divide it by infinity, it'll still be a zero.

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然后是相反的，取一个有限的数除以0。如果你一开始说，x = 1，除以1，得到-1000。如果让x变小，比如0.5，-1000除以0.5等于-2000。它会变得更大。我要快速画一下这个。你可能会觉得这是一个基本双曲线函数。看起来像这样，它是y轴的渐近线。

在这里，我们遇到了一个小问题。如果你从右边来，除以越来越小的正数，结果会越来越负。如果你用这个方法，除以负数，但是它们变得越来越接近0，这个数字会变得越来越正。这就是小加号的意义所在。这是关于处理那个小细节的。这意味着我们将接近0，这里的数字将越来越接近0，但它们将从更大的一面进入。所以你有-1000除以越来越小的正数。看看它要去哪里，负无穷大。

我们再来看看这个。现在，我们要让它趋近于0，不用担心正负那部分。这次有个问题如果我们从右边加一个，结果趋向负无穷。如果我们从左边进来，如果这里有个负号，我们就会进来并接近正无穷。

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最后一个例子称为单面限制。这是一个双面限制，这是正常的限制。问题是，你如何决定你想要走向消极的无穷大或积极的无限？你没有决定。如果极限不同样来自两个方向，则不能说完全有限制。你必须说它不存在。

下一个的味道。无穷除以无穷。这是奇怪的。分裂的东西。这通常是1。但奇怪的事情也会发生。看这个。做这个极限有一个小技巧。你们可能在微积分预备课上第一次见过这个你们可能在今年年初又复习了一遍。如果有一个趋于∞的数，上面和下面都有x的幂次，在分母中寻找x的最大幂次。 That's x³. I'm going to divide the top by x³, which I can do legally as long as I divided the bottom by x³. I'm going to do that. Divide the numerator by x³. Divide the denominator by x³. And now, I'll do a little bit of simplifying. See that x³ can divide with the x³, that x can divide with the x³.

我把化简后的式子写出来。我们得到了x趋于∞时分子的极限。X³除以x³等于1。X除以x³等于1/x²。下面这里，2x³除以x³是2x²除以x³是1/x。我们现在开始营业了。我现在可以代入∞了，认识吗?

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1 /x³有限的除法。有限除以无限的是0.无关紧要。在这里，一个有限的数字除以无限数量，即0.因此，讨厌的除以无限的分开它已经消失了。还剩下什么？1/2。疯了，呵呵？这一切只是简化了1/2。如果您要在图表上放出这一点，那条公式，您发现的内容是它在1/2的高度级别。你以前可能已经这样做了。 Horizontal asymptotes. We'll handle those in another episode.

最后一类；0除以0。任何东西都不能除以0，包括它本身。所以我们必须再次做一个极限，因为极限允许你们划分正常情况下不能划分的东西。在这篇文章中，做好准备的方法是考虑因素。保理将使这一切变得美好而整洁。在顶部，分解为x²+x-6。只是一个简单的二项式因子，就像你从代数1开始做的那样。又好又简单。如果你要绘制这张图，你需要注意的一点是，在顶部和底部都有x-2因子。这意味着它可以分开。但是在图表上，当你把它分开时，你会发现图表上有一个小的间隙。不过现在没必要担心。

我们必须担心的就是这一点。在开始时，我们把2个放在那里，因为这会迫使我们做2 - 2，这是0.你不能划分0.但是现在突然间，你不会再分裂。所有您所要做的就是为X提供2个，结果是2 + 3或5。

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如果您对此公式进行了图表，就像靠近2的一样，您将在图中的图表上有一个斑点，一个开放的圆圈。

让我们来解决一些示例问题。现在，我将在本节中向您展示的问题与您将在AP测试中看到的问题大致相同。他们很少问任何基本问题。我现在要给大家展示的是那些非常普遍的。首先，我们有两个非常重要的限制，你需要记住。当x接近0时，限制之一是正弦x/x，仅当x接近0时，结果为1。有点奇怪，因为0的正弦值是0，0除以0，怎么会得到1？嗯，在这种情况下是这样的。

有证据可以证明这一点。我刚才向你展示的任何基本技术都无法做到这一点。你可能看到的另一个是1余弦x/x。当你接近0时，这个极限是0。嗯，很抱歉告诉你这些，但是记住它们，忘掉它。他们正在接受AP测试。你没有时间去证明它们，你没有时间从基础上提出它们。记住它们就行了。尤其是这个。如果你要记住任何一个极限，这就是它。让我们用它来解决一个问题。这是一个非常常见的变化，你可以在上面看到。你可能会想，正弦x/x，极限是1。有个小问题，这是5倍，那是2倍。它实际上不是同一个变量。

这个问题的关键是要意识到你必须让它是相同的变量。在这里我开始这样做。我做的第一件事就是把分母上的2提出来。这是我需要的前进道路。sin作用的变量是5x。

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如果下面有相同的变量，我也没问题，5x。这可能会让学生很困惑因为你知道，这不是一个变量，而是5x。X是一个变量，5x不是。变量可以有多个分量。你可以把5x看成一个单独的变量这样它的这部分极限就变成了1。当然，我不能只把下面乘以5就说它们是一样的，不可能。但我可以平衡一下。下面除以5，如果上面乘以5，那么业务，我重新平衡了它。我们几乎完成了。我要求这个极限。

1/2保持不变，当趋于0时sin除以相同变量的极限是1。乘以5 / 1，我们要去城镇。答案是5 1/2。我们再试一个。这一点很诱人。你可能会说，天哪，看看这个。那边的方块，那边的方块，它们互相平衡。我们可以去城里，这个极限是0。不,对不起。cos的极限是1减去一个普通的cos除以一个普通的x，但是我可以用这个做一些事情。 The reason I wrote this down here, the Pythagorean identity, is because it's the key to doing this one. I'm going to rearrange this. I need 1 - cosine squared so I could take this and subtract cosine squared from both sides. So I get sin squared equals 1 - cosine squared. I hope you'll forgive me for being lazy, I really shouldn't leave the variable off but I want to save time. 1 - cosine squared can be replaced with sine squared and I'm going to do that now.

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1 - 余弦平方是正弦方形。我把变量放回了，因为它现在真的很重要。变量必须匹配。等一下，这不是一个毕竟余弦。它真的是正弦之一。它仍然不太喜欢我们需要的东西。因为它在顶部并在底部被平方，但这很容易处理。正弦方形x与正弦x次正弦x相同。所以我可以将其分成两种不同的限制。限制为x接近SINE X / X次的0个SINE X / X的0。 And now I've got two of those limits that we just did.

这个极限是1，那个是1。1乘以1等于1。这是另一种你可能不太可能看到的类型但它在测试中出现了，这是非常令人惊讶的事情。看看这个。上面有一个平方根上面有一个数字，下面没有平方根。记得在代数1，特别是代数2和微积分预备课的很多课上，你被反复告知，不要在分母上留下平方根。你猜怎么着?我们要让这个平方根在下面。这是一个很巧妙的小技巧。现在，我要做的是把这个乘以这个的共轭，上下都是。 So that is square root of 9+x+3 over square root of 9-x+3.

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现在，如果我分发了这一点，这就是我得到的。9 + X次本身的平方根是9 + x，这是平方的差异。这两个乘以和这两个乘以它们加入到0和-3倍3是-9。在底部，我没有乘以这个x，并且有一个原因。看看我们在这里得到了什么。9加-9。9加-9是0，它已经消失了。看看这个小美女，x除以x。x除以x是1。

现在让我们看看发生了什么。之前，如果我们在这里放置0，我们将划分0，这是不可能的，但是当我们试图除以你的时候，看起来就会划分0英寸。我实际上只是为了替代它，看看发生了什么。所以我们在顶部和分母中有一个，我们有9个加上的平方根，我将为x + 3.平方根为9 + 0的平方根。它是1/ 3加3.你可以做到这一点。答案是1/6。我们在这个细分市场中涵盖了一点。这是一个特别注意的。一旦你知道该怎么做，这实际上是一个简单的问题。在我们的一个集中，我们已经通过了手动衍生品。您可能希望回复并查看。这就是这个定义来自的地方。

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对于导数，导数的定义是，当x接近0时，它是所有导数的极限。所以x加x减f（x）的函数是x的变化。最后除以0，但仍然会产生坡度。比较这两者。这就是诀窍。只是认识而已，嘿，等一下。这只是一个定义，替换了一些步骤。看起来f（x）是x。为了验证，看看这个。F（x）加上x的变化，x的变化是相同的变量，所以在这里，h是相同的变量。

这个和那个是等价的。把x + h代入x³。函数为x³。但这不是最终答案因为我们并不是在做这个函数，而是在求这个函数的极限。函数的极限是导数所以我要做的就是用导数的捷径。你可能从第一节开始或期中开始，就一直在睡梦中做这件事。它的导数是3x²。这就是问题所在。一旦你意识到，哦，对了，这是导数。

让我们做更多的事情，因为这有一个迈出了一步。这是一个接近的限制0所以它有手动衍生的那部分。它有底部。看起来函数是余弦，但现在没有x。但是如果有一个x，那么也必须在这里成为x。

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这是余弦的导数。让我们看看，我们的函数是，x的余弦。我们马上就要担心pi/2了。因为我们在做整个混乱的极限，你知道结果必须是余弦x的导数。有了这个，别忘了，余弦的导数是正弦的负值。我们差不多完成了。如果我用原始问题pi/2中的x替换x，我得到f'（pi/2）等于-sine pi/2。Pi/2当然以弧度为单位。π/2的正弦，也就是1。所以这个结果是-1。负数来自导数。

如果你碰到了你不能做的极限，你开始感到恶心，去医院。它的发音是“洛必达法则”，它是以几百年前发明它的数学家命名的。它真的很整洁。你没有在年初做的原因是，当你第一次研究极限时，做它需要导数而导数是基于极限的。但这是一件很酷的事情。它可以为你节省大量的时间。

洛必达法则说的是，如果你求一个分数的极限，你可以分别求上面的导数和下面的导数结果的极限和这个的极限是一样的。不要犯用除法法则的错误。洛必达法则没有用除法法则。所以，我们有一个趋于无穷的极限。

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ln的5次方的极限。这要用到链式法则，我把它放进去看看能不能跟上。自然对数的导数是1除以对数作用的值。这是1/x ^ 5但是根据链式法则我们需要对x ^ 5求导。也就是乘以5x ^ 4。下面x ^ 4的导数，我们分开来做，是4x³。我们来化简一下因为我们不能代入∞因为我们要用∞除以∞，我们现在仍然这样做。但我们稍微化简一下，看看会发生什么。

得到x趋于∞时的极限。5x ^ 4除以x ^ 5等于5/x这里是4x³，还是简化一点。求出了极限。我就偷懒不写x趋于∞了。5/x除以4x³等于5/4x ^ 4。现在，我们没有∞除以∞。我们得到有限除以无限。结果是0。

这节课从一个有趣的方向开始讲基本极限，接着讲一些你们可能在AP考试中看到的更复杂的极限，接着讲一些你们很可能在AP考试中看到的导数的识别问题。

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最后讲洛必达法则这是一个很好的捷径。我建议你们从网站上下载补充材料。尝试一些更复杂的极限来巩固你的思想。