有关利率问题

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有关利率;它们是一个非常有用的话题。非常,非常有用。例如让?他说，一位为一家汽车公司工作的发动机设计师想设计一种新发动机。嗯，引擎的一部分有很多运动部件。例如，活塞在上下运动。如果你想设计一个这样的引擎?it’它很高效，制造起来又轻又便宜，你所要做的，就是确保你?we’我们使用了适量的材料。

要做到这一点，你必须知道活塞上下的加速度是多少，这样你才能知道活塞的强度。相关费率可以帮助工程师解决这一问题。如果你现在正在看这一集，你应该先看看第七集的内隐分化。因为内隐分化是其工作原理的核心。

我吗?M会说1 2 3 4，大概40次。学生们在相关利率问题上犯的主要错误往往是在它们之前还是之后做导数?我们代入了一个不存在的变量?t的变化。我再说一遍。如果你?你在推导什么，你应该?没有代入任何能改变的东西。等或不等，直到导数之后。

所以在吗?我们有许多常见的问题类型?我们将遍历每一种类型。我们吗?我要么做一个完整的问题，要么至少做一个问题的准备。你呢?i’这些都可以在附赠材料上找到。常见的问题类型;有球。这些是通常的问题，当半径随体积变化时。 Cylinder; often it?s water tank problems like these. Similar triangles and cones, Pythagorean Theorem, and Trig functions. Trig function ones are usually when an angle is changing while some kind of a length is changing.

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球体是一种非常常见的问题类型，非常常见。对于球体问题，您通常试图将半径的变化速度与体积的变化速度联系起来。你可能会想等一分钟半径加倍，是不是音量就加倍了？不，那样不行。

这是我们的问题吗?但是让我再给你看一遍我做了什么?我说的是半径的变化。我什么?我要做的是向气球里吹两次气，换句话说，在一个固定的体积里，看看半径是如何变化的。所以半径增加了一定的量;实际上有很多。现在我?我要再给它吸两次气。观察它有多大的变化。体积相同，但半径不同?再来一次，不要变大那么多。 Now the radius is barely changing with two breaths. Well, that?s because as it gets bigger and bigger, it takes more and more gas to fill in the larger and larger shells effectively that you have expanding here.

所以半径变化的速率和体积变化的速率都是不同的。

所以我们吗?我们要找出气球半径在半径为5cm的瞬间的变化率，如果它?现在正在以每秒10平方厘米的速度膨胀。应该是立方厘米。我们的目标是求出气球半径在某一时刻增加的速率在某一时刻?半径为5厘米。

当它较小时，体积以不同的速率减小，半径以不同的速率增大。当它吗?S越大，汇率再次变化。记住，它越大，半径变化越慢。现在我注意到这里有个小错误。它说它吗?现在正在以每秒10平方厘米的速度膨胀。

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应该是立方厘米每秒。我吗?we’我们在这里建立了一个数据图表。我真的建议你这么做。这些数据图表能真正帮助你组织信息。它帮助你意识到你的问题是什么。当你从抛物线中求出来的时候你可以填上这些数字。因为那里?这是很多数字，你通常需要设置其中一个。

Dr除以dt，这是半径变化的速率。这就是我们被要求找到的。所以在这里打个问号。Dv除以dt，这是体积的变化率。我们得到了那个。这个是10立方厘米每秒。现在半径是5，但我要用引号括起来，因为这只发生在某个时刻。在问题接近尾声之前，你不能用那个。

接下来，你必须得出你的底方程。底方程总是要把问题要求的两个东西联系起来。我们必须把这两个速率联系起来，这意味着我们必须有一个把体积和半径联系起来的东西。它吗?一个气球。气球基本上就是一个球体球体的体积公式是4/3 r³。体积是4/3 r³。

你在几何学中最后一次听到这个。你可能应该记住它。在进行AP测试之前，您可能应该了解一些基本体积公式。这是其中之一。另一个是圆柱体的体积公式。另一个是棱镜等的体积公式。


让我们继续讨论这个问题。下面是公式。我有v和r，但我应该有dr和dv。这就是内隐分化的原因。

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现在你?我记得在隐函数微分课上，我们总是两边都用d除以dy，因为?我们正在求一个规则的斜率。我们需要求出dt，也就是它随时间变化的速率。大部分相关费率问题你呢?我们所做的都是关于时间的。

所以双方都是?我们要做d / dt, d / dt, d / dt。现在是d / dt，单变量的导数。如果这是t，它的导数就是1，如果不是t，记住隐函数微分很像链式法则。所以我需要dv / dt因子，因为我没有?现在还不知道T和v之间的关系。我知道你有这个，但是don?不使用它。这将使它变得一团糟。

注意到我吗?你还没把5放进去吗?年代5。了吗?年代非常重要。我吗?我要重复一百万次。任何东西吗?应该改变?we don’我们要到以后才替换。你可以代入3.14，因为它不会改变。 On this side we will have 3 times 4/3 that is 4. I?m doing the derivative here. Pi is a constant factor, so it just stays in there. The derivative r³ I?m still continuing that. Remember it was 3r³; the 3 turned the 4/3 into a 4. So we have the r² factor and I?m going to write this as times. It?s a Chain Rule factor, which in this case is dr over dt. We are getting close to done, just about finished.

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现在我们下一步就可以对这个进行替换了。在这一点上，我们可以用任何变化来代替。所以我可以用10来表示dv除以dt。我可以用5来代替r²，因为现在我们有了一个比率，我们可以用变化的东西来代替。所以我们有4π乘以5²乘以dr除以dt。我们快结束了。我们的目标是找出半径随时间变化的速率。所以我会解决这个问题，我就完蛋了。我们的最终结果是dr除以dt等于这里，我得到4乘以25，这是100。两边都除以100，得到这里的1/10。我当然翻转了侧面。我还有π因子，我们完成了。

气缸是常见的问题类型之一。你知道你的老朋友是这样的。好吧，就圆柱体而言，你需要知道的是这个的公式。体积是其底部的面积，即πr²乘以圆柱体的高度。基本公式；你必须记住那一个。你可能有一个汽缸的问题，水位在水箱内稳定地上升，就像这样。

它吗?这是一个相对容易的问题。所以我们吗?we’我们不会做那些的。你可能有一个这样的，但我觉得?it’气缸是侧着的，这是不可能的。当它填满这些区域时，矩形的体积就会增加。我们吗?我们也不会做那个，虽然这个在AP考试中不太可能看到。它吗?s quite complex.

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我们将讨论另一个非常常见的问题类型，锥形储液罐。因此，我们刚才讨论的水库水位上升时的所有问题都包含在这类问题中。如果你能做到这一点，你就能做到其他的。

这里有一个小例子。顶部有一个直径10米的锥形水箱。它有20米高，正在以每分钟5立方米的速度排水。注意这个词。水深在15米的瞬间下降的速度有多快？

在这幅图中，这个大锥体就是热源本身。下面这个更小的圆锥体?年代,水。还记得我们吗?你真的要把它当作是真的吗?这是两个不同的锥;一个是水的圆锥体，一个是水箱的圆锥体。我们吗?我稍后再谈。

让我们在这里填写信息，让我们看看。Dh对dt好吧，这就是我们被要求了解的。深度下降有多快？深度就是高度。Dv除以dt，这是体积的变化率。立方米，这是体积，但在减少。这里你必须有-5。高度，嗯，是15，但它是瞬间的。在问题快结束之前，我们不会使用这个数字。这是我们的数据。引号直到问题结束你才使用它。

还记得在相关的速率问题中吗?总要有一个方程把这两个量联系起来?你在试着比较。这里是体积和高度。我吗?i’不过我遇到了一点小问题。看看体积，我们?我们得到了高度，但体积公式涉及到另一个变量。

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我们得想办法摆脱这个。你吗?get rid of摆脱，摆脱我们想在求导之前做这个。你们可能在几何课上记得，要去掉它的方法。下面是它的工作原理。

如果你看这个整体的形状，你看到了吗?我拿到汽缸了。在圆柱体里面，有吗?这是一个直角三角形。这个直角三角形的高度是20。我吗?我要叫它大写的h。S在三角形中有一个长度。我吗?m叫它大r，所以这个直角三角形的半径和高度都是已知的。

在这里，这是另一个直角三角形。这个直角三角形和水有关?在油箱里。现在，如果你看这两个三角形，它们?它们都是直角，它们都有相同的角。如果两个三角形有两个相匹配的角，对吗?你们彼此很相似。这意味着边长是成比例的。了吗?这就是它的由来。所以小三角形的高/半径比必须和大三角形的高/半径比完全相同。

让我们填一下这个数字。我们不知道小家伙的高度或半径，但我们知道大家伙的高度是20。我们知道，这个三角形边的半径是5。现在我们有了一些关于h和r的东西。记住，对于这个问题，我们必须去掉的变量是r，因为问题要求我们找到高度的变化率。所以我要为r解决这个问题。

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R,让?交叉相乘，得到5h = 20r。这意味着r两边都除以20。半径是高度的¼。我们刚刚知道半径是高度的¼。还记得我们这么做的原因吗?我不想求导，直到?我们已经把价格降到了两种;这两个变量?你应该有共鸣。这是h和v，所以我们要消去r，让?年代的替代品。

体积等于π的1/3乘以半径等于高度的¼。用这个代替。高度的¼，有一个与半径成直角的正方形，乘以末端的高度。稍微简化一下¼²是1/16。1/16乘以1/3等于1/48。1/48π我们有h²乘以另一个h，也就是h³。这等于体积。

现在我们要做导数。考虑这个导数，关于时间，两边的d除以dt。我们有V等于的d除以dt，我将把d除以dt写在后面，但技术上我真的不应该。我只是用光了一点空间。对时间的导数，得到1/48π。

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h³的导数是3h²，乘以3h²。但h不是t，所以我们需要链式法则;dh除以dt。乘以dh / dt等于这里的dv / dt。我们快做完了。我们吗?我们求了导数，现在我们可以代入变化的量。我们改变的量是这个。我们可以代入高度。我们可以代入它。

让吗?让我们再写一遍。这里留点空间两边都是d / dt。所以我们吗?得到dv / dt等于1/16h²dh / dt。

现在我们可以去输入数字了。我们的目标是求出高度的变化率。我们不?没有，但我们知道体积在变化。每分钟损失5³。我有1/16，问题是当时高度是15米深。所以有15²乘以dh除以dt。稍微化简一下，解dh / dt，就得到了答案。我吗?i’我把那个留给你去做。 It?s just a little bit of Arithmetic.

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毕达哥拉斯定理经常出现在相关的速率问题中。让我们看一看。这里有一个例子，你有一个梯子，它从墙上滑下来。典型的梯子是以固定速率从梯子上滑下。问题是当梯子的末端离地16英尺时，底座离开墙壁的速度有多快。好吧，让我们填一下我们的桌子。

我们应该知道基地移动的速度有多快。这意味着x在变化，所以dx除以dt是未知的。虽然这就是这个量变化的速度，梯子的顶端是移动的物体，所以我们有这个的速率。它是3，但别忘了，因为它变小了，所以你得叫它-3。

十、 这是从梯子顶端到墙底的距离，16英尺。但这是我要用引号括起来的小家伙之一，因为这是数量上的变化，直到最后才能被取代。但梯子的长度是20英尺。这永远不会改变。我们早就可以用这个了。

在这张幻灯片中，你会看到我们建立了毕达哥拉斯定理；h²+x²=l²。这是梯子离底座的距离，离底座的高度。既然这一点没有改变，我们现在就可以把20个放进去。我们这边有20平方米。H²和r²都在变化，所以我们还不能用它来代替任何一个。H²加x²。现在我们准备好做关于时间的导数；两边的d大于dt。这边，这边。

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对这个求导，对h²求导?2 h。但因为h不是t，我们需要dh除以dt链式法则乘以dh除以dt。x²的导数是2x，但由于x不是t，我们需要用链式法则。另一边，20²it的导数是多少?S是常数吗?年代0。

这就是我们结束的地方。我们有2h，dh除以dt，加上2x，dx除以dt。我们现在已经做了导数，所以我们可以自由地替换变化的东西。改变的东西，那是x的16。把16号放进去，我可以帮我们省点麻烦。注意，它是2倍，2倍。我可以把双方都除以2来消除这些因素，省去我们一点麻烦。

高度，我们需要梯子的高度。我们终于可以做到了。它吗?it’表上没有，但事实证明我们需要它。我们知道这是20。在那一瞬间我们?在做这道题的时候，x等于16。我们又要用到勾股定理了，不过这次用的是几个数字。在那一瞬间?它的平方加上16的平方等于20的平方。 The height works out to be 12 just at that instant. Put that number in; 12 for h.

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Dh除以dt ?3我们?我们要把它放进去。得到3,dx / dt是未知量。Dx / dt等于0 ?快完成了。所以2被分开了。H被12取代，dh / dt被-3取代，x被16取代。如果我们做一点代数运算，就能求出dx / dt。最终结果是dx / dt = 9/4。它吗?S也需要代入单位。 Since this is feet, this should be feet per second.

你将看到的最后一类问题是三角问题。它们可以包含正弦、余弦或切线。你真的不知道，直到你开始设置。所以我要基于我们刚才做的问题，滑动梯子。但这一次我们要寻找的是它的底座与地面的接触速度。就是这个，西塔。

所以当你走的时候，梯子会一个接一个地往下滑。这个角度越来越小。所以，角度变化的速率，将根据这个速率而变化。所以现在我们必须确定我们需要的东西。

这里必须有，因为?S表示角度变化的速率。我们吗?这里必须有h，因为?我们的价格是多少?我们把它与。所以现在我们吗?我们必须决定，是吗?你打算用正弦，余弦还是正切?你想做的是，如果有的话?有什么是不需要的吗?T变了，你想把它代入三角方程。X在改变?不使用它。

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使用20。20岁不会变。如果你用这个，你会有太多的变量，但是如果你用这个，θ的正弦是h大于20。正弦θh超过20，现在我们得到了我们需要的。我们有一个基本方程，它把两个变量联系起来，我们应该把这两个变量联系起来。所以这次我们甚至不用做任何替换。从这里继续下去，当然你会在两边都超过dt。我还没有什么可以替代的，因为这些变量是变化的。

所以d除以dt，这两个都是。我得把这些写在后面。这在技术上是不正确的，但我想写它让你们知道我在做两边的导数。如果你对两边都求导，这会得到θ乘以dθ除以dt的余弦。这边让我们看一下，h的导数是1，所以h对20的导数是1/120。1/120 dh超过dt。

我们吗?我们已经求导了，现在我们可以自由地代入任何变化的东西。我吗?我把问题留在这里，你呢?我将在奖励材料中找到它，连同你自己尝试完成的所有步骤。你需要找到cos和，但没有比这更简单的了。因为你知道这是20，而你呢?我们是在h = 16的时候做的所以你可以用勾股定理求出余弦值，再简单不过了。

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在本期节目中，我们讨论了相关费率。关于一个量相对于另一个量如何变化的。我们首先讨论不同的问题类型，并举例说明。记住，在你做导数之前，不要替换任何变化的东西。

所以在吗?it’还有一件事我要提醒你。你吗?我在AP考试中经常发现相关的费率问题。你吗?i’我还会看到一些与利率有关的其他问题，是吗?没有相关的利率问题。你吗?我会在美联社的恶作剧节目中找到很多。