黎曼和与梯形法则

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Riemann Sums，你还记得这些小家伙吗？你第一次看到它们是在你开始做积分的时候。黎曼和是一种通过将曲线分成若干部分来近似曲线下面积的方法。有时截面是矩形，有时是梯形。

所以你做了很多关于黎曼和的工作，你挣扎着，你和他们斗争着。然后你学会了如何快速地做积分，你完全忘记了黎曼和。我们今天来这里是为了拍你的背。所以我们有一个可爱的笑话给你。

当你把猎豺者分成馅饼，你会得到什么？南瓜派。

上黎曼和和黎曼和有很多不同的形式。你们可能不需要在AP考试中计算它们中的任何一个。但如果你想，你需要做好准备。你需要知道不同的类型是什么。因为在另一种问题中你可能会被问到只是让你比较和的相对大小。首先我们要处理上下黎曼和。

还记得Riemann求和法吗，你所做的是把形状分成几个部分，垂直部分。很多时候，你甚至选择了宽度为1或2的部分。他们不一定非得这样。我想挑什么就挑什么。我在这里接受这一点。我接受那个观点，我接受那个观点，我就在这里做这个。然后垂直向上画函数。如果你真的要做计算，你要做的就是找出它有多高，因为你要计算出子部分的面积。

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对于上面的黎曼和，你当时做的，是画矩形，所以它们都在函数上面。从这里到那里给你一个。这里到那里，然后向下给你下一个矩形，从这里到那里下一个矩形。我们把这里和这里的间隔分成三个不同的矩形。如果你找到所有这些矩形的面积，把它们加起来，你就得到了一个非常糟糕的曲线下面积的近似值。

它在上黎曼和里，是吗?年代太大了。下黎曼和使用相同的点。但是我们不是在上面画一个矩形，而是在下面画。这次我们要用这个。因为对于下黎曼和，它们会画在下面。我吗?为了更有意义，我从这里开始。

对于这个，你可以在下面画，这是我们要做的部分之一。然后你在这个下面画，这是下一部分。对于下一个，请注意，我这次使用的是左侧。我必须使用左边，我的矩形实际上没有任何高度，因为它正好在0,0。

但是不管怎样，如果你找到这两个矩形的面积，然后把它们加起来?我们得到了曲线下面积的近似值。这次呢?这真是一个糟糕的近似值。左右黎曼和只是用不同的方式来命名上面或下面的矩形。但是这次不用担心这个部分是在上面还是下面，你只需要看看你是从左边还是右边填充。

注意，这次我得到了一个不同的函数。这一个位于x轴下方，而不是上方。

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让我休息一会儿。画垂直线。如果我做的是上面的和，我会做上面所有的矩形。如果我做的是较低的和，我做的是适合下面的矩形。对于左和，您将基于左侧绘制矩形。从左边看，对于这个特殊的部分，它的左角在这里。在这一部分，它的左角在这里。在这一部分，它的左角是0，0。所以它是一个没有高度的矩形。

如果你用这个定义，这个就叫做左和。如果你这样做，它将被称为上和。所以不?不要错误地认为左右和总是更大或更小。你需要看看函数在哪里，看看哪个更大，哪个更小。在这种情况下，左边的和将会比右边的和小。

当我做正确的求和时，你取你的矩形。但这次你是从右手边画。所以你得到一个面积更大的矩形，另一个面积更大的矩形。还有一个面积更大的长方形。在这种情况下，如果你被要求比较它们，你会说左黎曼和比右黎曼和小。左黎曼和是低估，右黎曼和是高估。

下一种方法是做一个黎曼和，作为一个中点，一个中点和。让我们看看其中的一个。黎曼和我们仍然在画矩形，我们仍然在寻找它们的面积。我们仍然要把这些面积加起来，得到曲线下面积的近似值。

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我吗?我会选择我的分段，这次我会找到中点。不是从区间的端点画，而是从中点画。我吗?M要把它画成虚线吗?不要太混乱了，因为这些是矩形。0和2之间的中间是1。向上画。这就是高。如果你真的要计算这个，你需要计算这些点的平均值然后把结果代入公式来求出第一个矩形的高度我们用它来求黎曼和的中点。

下一个，在2到4乘3之间，笔直向上画。如果找到该高度，它将是第二小节中矩形的高度。这是点黎曼和的下一部分。接下来是4到8，这两个数字的平均值。记住这是找到中点的快捷方法。做平均数。4加8加2等于6。画一条直线。该位置是下一个矩形的高度。画过去，我们有中间点的下一部分，黎曼和。

在这种情况下，上限和太高，下限和太小。中点和更像黎曼和的金发姑娘。刚刚好，不太好，但是好多了。

注意这里的这个区域被高估了，但是它被低估了。高估，低估。高估低估。

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所以这可能是一个相当好的曲线下面积的近似值。但是不要犯这个错误。不要假设中点和是上下和的平均值。通常不是。

梯形和是下一种你能做的和。现在这些不是黎曼和。他们有一种不同的方法来组织你的图表，这样你通常可以很好地估计曲线下的面积。梯形和。这就是它所说的。你实际上是在做梯形运动，不觉得自己被拦住了，也不觉得自己被困住了。这只是一个梯形，你从几何学开始就在做。

但是你要从选择你的间隔开始。和我之前做的一样，选择你的时间间隔。如果你要做梯形和，你会找到坐标，端点，x和y坐标。

我们不画矩形，而是画梯形。梯形也有平行边。这是一组平行边。但另一面并不一定平行。这是梯形的下一面，在这之间笔直，这是梯形的最后一面。梯形的面积是基底的½和乘以梯形的高度。

这里的好处是，因为我们是通过画垂线来做这些和的，垂线总是垂直于x轴。有几件事很简单。它保证了它们是平行的同时也告诉你间隔的宽度就是梯形的高度。这可能会让人困惑，因为你太习惯于认为高度是上下的，高度是上下的。

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不，不是。在几何学中，它不是上下的。高度是底座之间的距离。但是你知道我们可以从这里继续，如果我们找到这个高度，我们就有了1号底。如果我们找到了这个高度，我们就得到了基数2。我们可以用公式来代替，我们可以得到那一小节的面积。现在让我们把其他小节画进去。

在这里和这里之间不是梯形，而是三角形。但实际上你可以用梯形公式。这里的这个基地称为基地2，这个位置不是直线。这只是一个问题。但是你仍然可以把它叫做base 1，并且说base 1的长度是0。

有趣的是?这是会发生的。当我们做一个梯形和的组合公式时它会出现。但是记住这个，这部分，和这部分，共用一条边。

本节以2为基数，本节以1为基数。以后一定会得到一个浓缩公式。下一节是这样的。下一部分是这样的，有4个梯形，在这种情况下呢?S是曲线的一个很好的近似。它吗?it’这还是有点低估。因为在所有梯形的上面有一个面积，不过还不错。是梯形和吗?t总是低估了。有时它们可能被高估了。

是时候进行更好的练习了。AP测试经常会要求您处理梯形和。最近发布的实践测试往往显示出许多梯形问题。我们将集中讨论本节中的内容。

所以这个问题要求你们使用一个梯形和，有三个子区间，来估计t=0和t=3之间曲线下的面积。

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这是你们可以在免费回复部分看到的。如果你这样做了，一定要把你正在处理的事情做好笔记。因为他们会检查你是否理解。为了在图表中显示您理解这一点，您需要显示一些工作。

所以我?M从图像开始，它应该在0到3之间。不?只要他们能看懂，图像就一定很漂亮，对吧?这才是他们真正关心的。1 2 3，在图上放一个刻度总是需要一个刻度。其中x是x和y函数值在0到1.68之间。这里少了一些东西，我们一会再处理。也许我们应该先处理这个因为我们需要知道图的高度。我们需要这个函数值。

他们可能会给你所有的，或者他们可能会要求你计算一些。其实没那么难。你只需在公式中加入2.5。所以你会得到2.5的正弦。计算你的价值。我预先计算过，f（2.5）大约是1.20。

注意所有这些小数。如果它有这样的小数，它可能会出现在测试的计算器部分。在非计算器部分可能有一个梯形和，但这样做会使数字更容易处理。

所以我必须达到1.68，只是这一次我想我要做的是，我会让每个小节值0.5。这样我们可以把图放大一点。读起来容易一点。你不必有均匀的间隔，甚至从上到下的比例。