切线与优化

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切线和优化。这个话题从年初就开始了就在你学过导数之后。这是一个非常重要的话题。这个主题的作用是帮助你找到曲线的最大值和最小值，你也可以找到与曲线任意点相切的直线。首先我们要做一点基本的复习。我们会接着讲一些练习题然后再讲一些应用。涉及优化问题的应用。

切线就是它所说的，它是一条直线。看一看。我们这里有一条曲线。切线的特殊之处在于，它只在一个点上接触曲线。所以我要给自己选一个位置。这就是切线，它只在一个点上接触。

从代数1开始，你们就已经学过直线方程了，记住它的要求有一个斜率和一个点。这里有一点。当你做这些问题的时候，你会被告知要把它放在什么点上。但我们需要斜率，这就是微积分的作用。

让我们试试看。我们将在这里做两道练习题。其中一个是一个基本问题，另一个只是稍微难一点。让我们看看。

所以我们应该找到一条直线的方程，它与曲线相切，这个问题告诉我们切线在哪里。让我们把它放在那里。

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(-1， -4)这是切点切线大概是这样的。因此，我认为它的斜率可能是2 3 4之类的。但我们不需要猜测，因为我们有微积分要做。现在，我们如何得到我们需要的东西因为记住，对于一条直线，你需要有一个点，你明白了。但你也需要一个斜率。我知道我以前听过这个，对了，导数。衍生品的斜率。

我们要做的是求直线相切的公式的导数，然后看看会发生什么。y=x³-3它的导数是3x²，-3当然是常数常数的导数是0。

这很有趣，斜率等于一个公式，这个公式在代数1中是没有的。斜率是一个公式，斜率是一个数字。但那是因为你处理的是直线。这是一条曲线，斜率是一个确定的数字。这里的斜率更陡，这里的斜率没那么陡。好吧,让我们继续。

同样的问题，我们刚刚找到了斜率的公式，我们知道它会经过这个点，在这里你会找到点斜率公式。任何直线的方程，如果你有斜率和一个点，那么斜率在一分钟内就是正确的。

这个斜率公式只需要用到x。所以x = -1时的斜率是3乘以-1²，就是3。所以我之前对斜率的猜测并没有太大偏差。代入公式。

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所以y减等于，我总是喜欢这样做因为把要代入的东西空出来。当x = -1 y = -4时，代入方程然后代入斜率，化简一下，就得到方程了。看看我们得到了什么。得到y + 4 = 3x + 3，所以是3x，两边同时取4，就得到了。这是与曲线接触的直线的方程。我们再试试另一个稍微难一点的。

看起来很难，对吧?这其实并不难求。另一件让它更困难的事情是，我们还没有它经过的点，我们只有一个坐标。但其实也没那么难处理。X = 1，大概在这里我们知道这个点的X坐标是1但我们还不知道y坐标。我们知道切线是这样的。求y坐标很简单，只要把它代入公式就行了。我们来试一下。

我们得到y = ln(1 + 2) 1²。也就是y=ln{3-1)现在你可以让它保持精确的形式。我要用它来做一个十进制的近似，只是为了让问题更简单。

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它的十进制近似约为8.1。我们已经得到了我们需要的一个分量，我们有一个它经过的点。现在我们要求斜率，我们需要它的导数。这需要链式法则，但x+2的导数是1。所以我们可以假设链式法则没有发生。这个的导数很快就能求出来，得到y'=1/x+2，这是自然对数的导数。-x²的导数是-2x。下一张幻灯片我已经写出来了，我们继续这个问题。但我们快做完了。

这是我们的斜率公式，我们刚才发现它通过（1，8.1），这是（x，y）坐标。我们要找到斜坡，我特别需要的斜坡就是那个斜坡。所以找到y'（1），它是1除以（1+2）减去2乘以1，也就是-5/3。替换进来，我们就完了。

斜率是5/3再次指出斜率方程的原因，稍微化简一下。

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我们有y= -5/3x + 5/3，两边加上8.1。省点时间，我们把它留在这里。5/3等于1又2/3,1.6重复，化简得很简单。

优化是一个非常关键的话题，非常重要。在AP考试中，优化是常有的事，这实际上是微积分最重要的用途之一。优化通常意味着你试图找到最小或最大值，某件事的最佳解决方案。这是一个很简单的例子，但是很适合作为开始。

问题是，找到两个正数，它们的乘积是612，和是最小值。你可以做1乘以612，乘以612，然后总和是613。或者你可以做2乘以306，有些是612，和是308。好的，那是一个小数目。我们想找到最小值，无论如何，我们不想做这种猜测和检查。当你做优化问题时，有几个基本步骤。

首先要做的是写出最基本的方程。它通常涉及问题想要什么。无论问题是让你最大化还是最小化，这都是你的基本方程。在这种情况下，方程的开头是sum is, sum =。有时你必须把它代入一个次方程。我要取一个二级方程。然后求一阶导数然后代入0求最小值和最大值。

我们在这集里做优化的原因是，切线是使它工作的。

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让我们试试这道题。612的乘积，两个数。两个数字，我需要两个变量，所以我可以说第一个数字是x，第二个数字是y，把它们加起来就得到和，这就是主要方程。我们要对它求导。但我们还不能，因为它们是两个变量。因此，我们不会对它求导。

所以我要消去这个变量，这就是第二个方程的作用。还有一些信息我们还没有用到。注意这里没有612，数字要乘到612。我们把它写出来。X乘以y等于612。现在我有两个变量和两个方程，这意味着我可以把它们代入。我要解出第二个方程的y，所以我可以代入y。

所以y = 612 / x，然后代入它得到一个只有x的方程。我们开始吧。和是x + 612 / x，我们写出了原始方程，代入了次级方程。现在为了使它最大化，我们需要找到斜率为0的峰值位置。让我快速画一张图。

如果你画出这个和方程，变量是x，竖直的不是y，它是和。你可以称它为x，但我要把它标记为和。它看起来就像这样。

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这里是最小值。最小值在哪里，我们就能找到我们需要的x值。我们的目标是求出这个点的x坐标。看，因为这是底部，所以这是一条水平线。水平线的斜率是多少?0.

接下来的两步还是求导数然后用0代入斜率，这样就能求出坐标。

两边同时求导。这个和的导数是，我们看一下，它的导数是1 612/x的导数是-612/x²。如果需要的话，可以先把612改成612乘以x的负次方，这样求导就容易一些。

现在我们知道，这个方程给出了曲线上任意一处的斜率，但我们想要的斜率是在这里。代入0。我现在要做的就是解这个我们实际上有两个数。两边同时加上这个得到612/x²= 1。

将两边乘以x²，得到612=x²。求两边的平方根，x是612的平方根。结果是另一个数字是一样的，因为记住，我们都希望它们乘以612，612的平方乘以612的另一个平方就是612。

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所以我们的两个数字是612的平方根和612的平方根。让我们再试一次，像这样。“哦！不，他们回来了。”找到8x14薄板制成的开放式机顶盒的最大容量。这些东西可能是你在预科课程中的报应。现在大多数预科课程都会有这些东西。但在预计算中，您必须使用图形计算器找到解决方案。现在我们使用微积分，你已经从计算器中解放出来了。

让我给你看看这是什么样子。你有一张纸，你想切多少就切多少。切完之后，就可以折叠了。你得到了一个盒子，所以我们得到了我们的盒子。这个方框应该有一定的体积。现在没有什么可说的，我必须削减那笔钱。看你剪掉的数量，这是一个变量。让我在这里展示给你看。

你可以把x从这条边和这条边上切下来。你必须把正方形切出来，这样盒子就可以折叠起来，上面就有那么多。所以x和x x和x，但是x是可变的，你可以切掉更多。做一下。我必须用同样的方法切所有的角，否则它们就折不起来了。现在把这个小东西折叠起来，突然我们就有了一个不同的盒子。它是从同一张纸上切下来的，但是更高，体积也不同。

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好吧，如果你做一个如此微小的切口，你会得到一个非常扁平的浅盒子，几乎没有任何体积。如果你剪了很多，你有一个很高的盒子，但它没有太大的体积。如果你剪得恰到好处，你会得到一个容量最大的金凤花盒子，这就是我们要弄清楚的。让我们去工作吧。

我们的限制条件是，这张纸是8乘14，这样8，那样14。我们知道我们必须最大化体积，体积是长度乘以宽度乘以高度。我们看我们的盒子，长度或宽度。长度和宽度在这里和这里。如果我取这个14，从这边切下x，从那边切下x，这里剩下的是14-2x。现在，如果我取这个，从8和x的那一边切下，从那一边切下一个x，我得到了8-2x。

我们得到了长度，宽度和高度。长度，14-2x，宽度8-2x，高度，就是x。这是体积公式，把替代物放进去。长度乘以宽度乘以高度。为了节省一点时间，我已经分发了。这是一个公式，其中y是体积。它将是形状的体积，体积将有一个最大值。如果你要把它画出来，当你在你的图形计算器上做的时候要小心，因为它们高得出奇，如果你在标准的图形计算器上做的话，它看起来什么都不像。

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当你设置它的时候，你要做的就是让图形的窗口和盒子的大小差不多。记住，我们原来的纸是8英寸，如果你从这一边切下x和x，你可以切得越来越多。但你最多能从这条边切掉4。沿着14维，如果你切得越来越多，你可以切到7但你不能切那么多这条边。所以你最多能切掉4块。这是x，当你设置图形窗口时，把它设为4或宽。这通常是100或者200之类的。

图像是这样的。峰值在这里，微积分会帮我们找到峰值。我们再回顾一下步骤。

我们把原始方程写在这里，代入我们需要的东西。这次我们不需要第二个方程，因为只有一个变量。下一步是求导，代入0，差不多就完成了。

y'的导数，也就是斜率或体积。也就是12x²- 88x + 112。现在，它可能因式分解。如果你在AP考试中允许使用图形计算器，不要浪费任何时间尝试分解它。不要浪费任何时间，即使在产品配方。用图形和计算器求出P。

如果是在不允许使用计算器的情况下，那么它是可分解的，你需要这样做。这一个虽然没有因素，他们通常没有，并被称为特殊的因素了。我提前计算了一下这个。

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在这个例子中，如果你用0代替斜率，你会发现你的x值是1.638，这是其中一个，另一个是5.695。

我们有两个解决方案，但这个问题只有一个解决方案。这个是无稽之谈，你不能把它从盒子边上切下来。如果你这样做了，你就把整张纸都切掉了，就没有东西可以卷了。这就是最大值的x值。我们通常会问的问题是，找出最大音量是多少。

别停在这里，这是多选题。他们可能会给你这个答案，看看他们是否能骗你太早停止。重读一下题目，题目说定义音量。最大音量是当你把这个放进去的时候得到的。所以1.638的体积，我之前把它代进去算出来了，大约是82.98。

切线，这是个很重要的话题。在这节课中，我们学习了在特定点上求曲线的斜率。我们已经讲过在这些特定点上，求切线方程。你会经常在AP考试中看到这样的问题，他们会问你求曲线上的切线方程，甚至是某一点的斜率。它们在多项选择题中很常见。在自由响应部分，您可能会看到也可能不会看到优化问题。

另一件重要的事情在下一集里会讲到，他们总是要求你找出图形上的最大值或最小值。

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图上的最大值和最小值发生在斜率等于0时。因此，请收看下一集，您将看到我们将更进一步。