速度、加速度和距离

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现在吗?是讨论速度和加速度的时候了，对吧?i’我最好能加快一点速度。加速，加速。是啊，那是个玩笑，你可能没有吧?t得到。无论如何，速度，距离，加速度都是微积分中最重要的东西。至少我是这么认为的，因为我?我喜欢物理。记住，很多微积分至少在一开始是由艾萨克·牛顿为了使他的物理学成立而发展起来的。除了伟大的艾萨克·牛顿，你还需要知道这些东西，因为?AP考试的内容很多。

速度;它吗?这是变化率。它吗?S距离随时间变化的速率。让吗?让我们看一看。这是你的老朋友;距离等于速率乘以时间。你大概是四年级的时候学的吧。 If you take this and solve it algebraically so that rate is by itself, you?ve got rate that equals distance over time. By distance what you mean is how far the location changes. It?s often called change in distance. Then the time is really the change in time, how much time went by. Well, these are differences. If you make differences smaller and smaller and smaller just like you do all the time in Calculus, instead of having delta d, you have dd, as in dd over dt.

是的，这是一种衍生工具。你所要做的就是得到一个距离方程；取它对时间的导数，你就得到了一个速度方程。再往前走一步，加速度就是速度随时间的变化率。所以加速度是速度的导数。速度是距离的导数，它也反过来。

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这是基本的运动方程。你几乎肯定有这个在你的物理课中。您可能没有在其中的表格中有D0。D0只是对象的起始位置。这很酷。我喜欢展示这一点。记住我们刚才所说的;速度是距离变化率。所以我会在双方做DT去寻找衍生品。所以我在T的两侧都有d。 Don?t let it confuse you that you get d here and d here. This is the differential. This is d for distance. I know it?s confusing. Sometimes to avoid this confusion, you will see the distance listed as r. It?s pretty common.

两边同时求导。我们吗?1 / 2 80²+ v0t+d0。这个的导数是速度对10的导数。让吗?看，我们要求导。这里的变量是t?有一件事会使你迷惑。这个方程的A是常数。它吗?s just a number; v sub 0 that?s the starting velocity. That?s just a number. D sub 0, that?s the starting location. That?s just a number. It makes a difference when you do the derivatives. So the only working variable here is actually the t. Derivative of t² is 2t times the ½ just gives you 80. The derivative of this it?s really just one power of t, one power less is 0 powers. All that?s left of that is v0. The derivative of that constant is just 0, look at that. It?s another one of the Physics equations.

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速度等于加速度乘以时间，加上起始速度。再进一步，如果我求导?有加速度。加速度乘以时间的导数，时间是这里唯一的变量就是加速度。了吗?这是一个不变的速度。它吗?S是常数，所以它的导数是0。

有点练习的时间。我们现在要做的是用衍生品，速度和加速在一起。让我们开始，看看我们是什么？我们有距离。粒子移动使得其从其起始点的距离由T的等式D等于T 2次E到3T。找到它的速度。看起来很重要，看看你是哪一个？重新给出，你应该找到什么，所以你知道什么订单。

现在我们做了一些涉及到导数的事情。这一项也会涉及到导数，但你要做好准备，它可能会反过来。距离的导数是速度，但你可能会有问题，你在哪里?给你一个速度方程，你呢?你要求找出一段距离。它的逆过程涉及到一个积分。

让吗?让我们去工作吧。我们吗?我们应该对它求导。所以任意时刻的速度是距离d ' (t)的导数，所以是t²e ^ 3t，一个变量因子。这个要用乘法法则。记住乘法法则是第一部分的导数乘以第二部分的非导数加上第一个因子的非导数乘以第二个因子的导数。

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第一个因子的导数是2t，乘以第二个因子的非导数，加上第一个因子的非导数，乘以第二个因子的导数。这不仅仅是e到t。到3t是e。这是一个连锁产品组合。如果我做链的部分，3t的导数就是3。e对3t的导数，剩余部分是e对3t的导数。

我们吗?我们有一个方程，我们可以化简它。让吗?S基团稍微增加了一些。注意它们都有e ^ 3t因子。让吗?让我们把那个拿起来。从长远来看，这实际上会简化一些事情。所以我们有2t + t²我们提出了e ^ 3t。好了。 This little bit is done. We?ve got that velocity. Are we done? We?re not.

你可能会遇到一些问题，在哪里找到方程就是方程。这不是其中之一。这是一个你应该找到方程并实际使用它做一些事情的地方。把时间等于3放进去。所以我们有3的v等于2乘以3加上3乘以e，再乘以3乘以3。

如果您将此工作过，您将获得近似的速度。这个很大。它是267,000。需要拍摄的最后一件事是检查单位。这个问题没有给我们米或英里或任何东西距离。它没有给我们几秒钟，或时间或任何时间单位。所以我们不必在答案中有任何单位。这只是想要证明，但这是这样的。对于这个来说，你不需要任何单位。

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我们要做的下一个问题将进一步迈出一步;找到加速度。为了节省一点时间，我将其设置为此，所以它是最后一个问题的延续。当您在测试中看到此时，它们可能没有持续。你可能会被告知要从这个开始。事实上，您甚至可能会被告知以距离开始，然后采取两个步骤在您偶然替代之前找到加速。

这一次，我们已经通过最后一个方程的一阶导数计算出了速度方程。这就是方程式；这是我们做的分解形式。加速度就是速度变化的速度。事物变化的速度有多快，取决于它们的变化速度。我们会发现速度随时间的变化率。与时间相关的利率是与时间相关的衍生品。

就像我在这里展示的，你呢?我们要求出加速度。它吗?S速度的导数。这是速度方程。我们需要对这部分求导d / dt。我提出这个的一个原因是，信不信由你，它让求导更容易。这里有乘积法则。第一个因子是2t + 3t²。我吗?ll take its derivative. Its derivative would be 2 plus 6t, times the non derivative of the second part, e to the 3t, plus the non-derivative of the first part. That is 2t plus 3t², times the derivative of the second part. That second part derivative takes the Chain Rule again. It?s going to be 3e to the 3t.

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3e至3t；在那里更难看到。好吧，我们就快结束了。我们被要求找出某个特定时间的加速度。我们被告知在3的时间里求加速度。如果你想练习的话，我会把这个留给你去试一下，但是基本上你只需要在所有的T中加3。在这种情况下，加速度是462。

有一件事可能会让你困惑尤其是当你?我在物理课上学过很多东西，你可能会想，等一下，不是吗?加速度总是9.8?不,那?这只是由重力引起的加速度，实际上也只是在地球表面。有可能加速度不是这样的常数。可以有不同的加速度。这是一个随时间变化的非恒定加速度。它可能发生。的原因吗?你不熟悉的是，高中物理很少有那么深入。

那么积分在哪里适合？嗯，如果速度是距离的导数，那么速度的积分必须是累积的距离。他们必须能够互相反转。这是一个常见的问题。问题说明粒子沿X轴移动，使得在时间大于0的情况下，给出了这种等式的速度。给定的另一个信息是给定的是粒子在x等于-100时的时间等于3.那个时候让我在时间上找到物体的位置等于9.可以让你混淆的东西有三个数字漂浮在3次。您必须决定哪些是您的整合极限。那里有0，有3个，有9个。

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我们吗?忽略的是0。的原因吗?忽略0是因为我们在时间等于3时有一个起始位置。我们只需要知道在3秒到9秒之间累积了多少距离。如果你看这张图，这张图显示了时间和速度的关系。速度开始时很高，但是?积极的。物体向前移动。它一直在前进是的，我知道它看起来在前进，不是吗?t吗?但实际上这只是速度。 This is a positive velocity, so at this time it?s moving forward. Positive velocity moving forwards, positive velocity moving forwards.

但是在这里，它的速度是负的。它正在倒退，但我们不必担心这一点。积分将负责向后移动。如果你在-100的距离开始，也许你在缓慢前进，在速度向后之前到达+500，然后把你向后推到+450。我们不必担心。我们要做一个积分。积分将在3秒到9秒之间。所以从图表上看，我们似乎向前积累了一些正距离，然后向后失去了一些。

让吗?建立积分。我们需要找到累计距离。它在乘以3到9之间累积。积分在3和9之间。对速度积分得到距离。速度方程是200 - 7t ln (10t) dt，因为这个?it’这是时间的工作变量。

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这时，你看着这个东西，说，哦，伙计，我怎么积分呢?你也吗?不必担心;你不会吗?我不太可能在测试的部分看到一个方程?你不允许带计算器。是的吗?积分是可能的，但是当你把3和9代进去的时候，你无论如何都需要十进制近似。所以他们不会吗?在非计算器部分我不会给你这个。

你所要做的就是在你的计算器里设置它。让我们花更多的时间写出来。在你的计算器中设置它，使你的累计距离是200减去7t ln 10t的3到9的整数。输入此部分，让您的计算器绘制它，然后使用integrate函数查找3到9之间的区域。在这种情况下，您的计算器将告诉您累计距离为157.441。这是累计距离。把这个问题看一下。我要停一会儿，你想办法弄清楚我们最后要做的事。这是我们尚未使用的一些信息。提示是这是累计距离。

我们从零下100开始。所以我们从100开始。把这个放在一个漂亮的小号码线上。有0个。我们从100开始，粒子向前移动，然后向后移动，最后到达终点。这就是我们应该找到的。这是终点站。基本上你所要做的就是把起始位置-100加上累计距离。所以+100给出了57.441的最终位置。我不看441了，因为我没在屏幕上。

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你是最难的问题，你被要求做的是那些涉及距离，而不是位置但距离的问题。让我解释差异。让我们说我在0的位置开始，然后前进2米，向后移动2米。如果我为此进行了速度方程，并在我移动的时间上集成了它，那么它就会告诉我结果是0.我没有去任何地方;我在同一个我开始的地方伤了起来。确保我最后的位置是我开始的地方，但我旅行的距离是2向前和2向后。距离不关心方向。我旅行了4米。让我们尝试一下。

这个问题是说一个粒子沿着x轴移动，所以任何时候它的速度都是1/3t³减4。在时间t等于0时，粒子处于位置5。不要在这里寻找5，因为这不是位置图。这是速度与时间的关系图。所以我们知道时间是0，位置是5。我们被要求找出时间0和时间3之间行驶的总距离。如果我把0放在图表上，或者代入公式中，你会发现，当时的速度是-4。向后看，我们必须对此作出解释。当时间等于3时，速度为正。如果我在这里做一个积分，积分会取这个区域，使它为负。然后把这个负数加到这个正面积上，得到一个太小的结果。

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我要找到的是位置。我想要距离。我们将要采取的主要步骤是查看图表，确定哪些区域正向和负向移动。这是一个速度为负的区域。这是一个正速度区域，然后建立两个独立的积分。我们根本不用5。这只是一个扰流器号码。如果我从这里开始向前移动一米，我已经走了一米。如果我从这里开始向前移动一米，我还是走了一米。我走了多远并不取决于我从哪里开始。那么让我们来做准备吧。我们必须找出它在哪里，这样我们就有了整合的极限。

现在，根据您在测试中所处的位置，您可以将其作为图形输入到您的计算器中。并告诉计算器使用0函数来查找方程的0。我将此设置为可以手动执行，因为您可能需要在测试的非计算器部分执行这些操作。当然，当t的上下坐标v等于0时，你可以找到0。那么，让我们在这里替换0。如果让你手工做其中一个，它们不太可能出现在你真正复杂的代数上；也许比这个难一点，但不要太多。

我们会解决这个小家伙。两边加4，得到4等于1/2t²，再乘以2，得到8等于t²。看起来是这样的？它会给我们t²。我丢失了一个变量。这是t³。我很抱歉。t³。所以我得到的是t等于2的值；漂亮整洁。

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但是如果你被要求用手来做这个，它将是一个相当好和整洁的数字，顺便说一句，它不包括分数。分数又漂亮又整洁。那是2。所以我需要做一个0到2之间的积分。我需要做一个2到3之间的积分。当我设置它时，我要使这个积分为负，因为积分本身会给我一个负的结果。我必须做这个的负数，才能得到行驶的距离。

下面是步骤。我们现在差不多解决了一半问题。我们找到了0。现在，我们必须进行测试，以找到正区域和负区域，因为同样，您可能没有图形。如果你在非计算器部分，你就不会有我们刚才看到的美丽画面。你需要做手工测试。然后建立积分，然后积分。

以下是我们所知道的。在问题的最后一部分，我们发现我们有这样的情况。时间等于0是区间的一个端点。从负变正的地方，我们不知道?i don’我不知道还在2点。我说我们不做的原因?我还不知道那是因为我?我现在假装我没有?我没见过这个图。我也?T知道速度是负的。我吗?m doing the old fashioned manual test like I did in Pre-Calculus to find out where the function is positive or negative in a particular region.

在该地区的目的中，我将打电话给这个地区1，我致电这个区域2.我只需要做一个简单的标志测试，看看0到2之间的时间是否给了我一个正面或负面结果。我甚至不在乎结果是什么。我只是在乎吗？是的积极还是消极的。选择你想要的任何你想要的东西0到2.既然我可以选择任何东西，我会让我的生活更简单，选择一个。为什么不？如果你在该地区挑选任何东西，你会得到一个积极或消极的结果。如果我选择这个，我会得到负面，或者如果我挑选，我仍然会得到消极的。如果我选择了，我仍然是消极的。

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在这个地区的任何地方，你都会在结果上看到相同的符号。所以我们的第一个测试，我测试t等于1，我会找到v的1。这很容易做到。让我们把它定为1而不是t。我们走了；v的1等于½乘以1的三次幂减4。那是1减4的一半。它是阴性的。这就是我们所关心的。这是消极的。

当我建立积分时，I?M要做这个结果的负数。下一个区域可能是正的，也可能不是。你可能可以预测，但是?T假设因为这个是负的，下一个是正的。你永远不会知道的。2和3之间是2.5如果这是什么，现在我们?我们可以求出在2.5处的速度。了吗?S½(2.5³- 4)现在你可能会恐慌，想1 / 2乘以2.5³减4，没有计算器我怎么算? Well, you could write it out by hand, but if you recognize a little fact about this, you can save yourself a bunch of time.

记住，2³等于8。八分之二等于四。4减4等于0，所以在边界线上。大于2的任何东西如果你的立方大于2，你将得到大于8的结果。超过8的一半超过4。大于4减去4，它是正的。所以我们知道这是一个积极的区域。让我们去建立积分，我们就要完成了。

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我们刚刚发现，在0和2之间有一个负速度。嗯，我现在正在积累我的距离。我要做一个从0到2的积分。那么这是½t³减去4dt。因为0和2之间的任何东西都会产生负速度，这个积分会给我们一个负距离。当我们谈论行驶的距离时，我们并不关心方向。所以在前面加一个负号。这是第一部分。

下一节的速度是正的，所以是I?只要加上它的积分。我吗?从2到3的积分也是一样的;½(t³- 4dt)现在来吗?做积分。唐?T减去这个负号。它吗?it’做起来很容易。 If you do, the problem will fall apart.

它吗?it’学习这类事情非常重要，把这些积极的和消极的东西牢牢地锁住。t³的积分是t ^ 4的¼，还记得吗?S是修正因子，乘以已经在这里的1 / 2。所以我?M是1/ 8t ^ 4。-4的积分是-4t。你吗?我们要从0到2积分加上，这里的好处是?这是同一个积分。所以你不?t need to do those steps again. Just copy this down with new limits of integration. New limits of integration on the same thing gives us this; from 2 to 3.

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代入的时候一定要小心。唐?不要忘记这个负数，要花时间把正数和负数都弄对。还是你?你会得到错误的答案。我吗?不过我想省点时间。了吗?有很多分数要写。这个的结果就是累积的距离是81除以8。 Well, again what about that starting position? The 5 doesn?t matter. We just worry about how far we went, not where we started. So you don?t use the 5.

好吧,我呢?我只是给你们介绍了微积分中一个非常重要的主题的背景知识;距离，速度，加速度，它们是怎样的?相关的。你可以求导数，也可以求积分取决于什么信息?再保险。如果已知距离，可以求导得到速度，再求导得到加速度。

如果你呢？重新获得加速方程，可以做到这一点以找到速度方程。您可以执行该速度方程的积分以找到距离方程。伟大的东西，它是有很多乐趣。它令人难以置信的是对微积分有用。它是对物理学非常有用的。如果你最终继续服用一些大学物理学，那么你可能会把基于微积分的物理学在那里，你会更详细地看到这些东西。嗯，一定要查看奖金材料。他们是一些良好的练习问题，涉及所有的所有步骤，所以你可以检查你的工作。