体积,横断面图

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体积；微积分中有很多不同的求体积的方法。我们在两条线之间的区域暗示了他们中的一个。让我告诉你我的意思。假设你有两条不同的曲线，你想找出它们之间的面积。好的，你可以得到一个小截面的面积。如果你把它做成三维的，它会一直向下。你会得到一个形状，它是由一堆堆形状组成的，这些形状都有相同的面积。您可以使用它来查找该形状的体积。

另一种方法是将圆盘相加。我们在使用光盘的那一集里讲过。在吗?还有一个有壳的吗?我们不会涵盖，因为通常不会出现在AP考试中;大量的方法。我们吗?我们现在要讲的是横截面的体积。

具有横截面的体积非常有用。工程师们可以在各种各样的应用中使用这种材料来发现非常奇怪形状的体积。让我们看一看。横截面问题通常是这样表述的。横截面是垂直于x轴的正方形。基准由x轴和函数确定。所以我们可以从中提取的信息就是正方形的底面。我们知道我们将使用横截面；想象一下，有一堆小正方形，你把它们加起来就形成了体积。让我们把这些画进去。另一个我没告诉你要注意的是，基底垂直于什么，非常重要。它们可以垂直于x轴或y轴。

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它们垂直于x轴而底是由x轴和函数决定的;所以从函数到x轴就是矩形的底。现在我在这里画一个矩形。你吗?我们可以想象这是三维的?S从形状向上和向外;所以像这样。如果我再画一个，这个没有?我们没有一个大的基地。它吗?S是一个小一点的正方形，像这样。

让我们再画一张。这是那个的正方形。这是一个较小的正方形。看起来是这样的。吸引另一个；我们只是把这些东西堆起来。一堆又一堆。在这里画，在这里画另一个。再画一个，再画一个。所以你必须想象这看起来像一副牌。它们是一层纸；尽管纸张护套的尺寸随着你走得越来越远而变化。

现在我要把各个角落连接起来；从这个拐角到那个拐角。你会得到一个三维的曲线形状。这就像我们的卷的底面。我们把它盖在又暗又好的地方，所以你再也看不到横截面了。在这里的这个角落，把这个角落连接到那个角落，一直连接到那个角落。你会得到另一条奇怪的曲线。想象一个我能说的形状，如果你是一个木匠，或者像鹰的鼻子。如果你查看奖励材料，你会看到一个链接，链接到一些非常整洁的网站，这些网站可以为这些形状制作大量动画。

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是时候浏览一个涉及最简单类型的示例了；有横截面或正方形的。我们将从解释这些步骤开始。那我们真的要去做了。这个要求你找出形状的体积。它给你一个域名。你通常需要得到一个域名，尽管有些域名可能会给你截取，你必须在域名上找到你的域名。

使用垂直于x轴的横截面，横截面为正方形;你吗?我们给出一个函数来帮助确定这些基。首先，你要画出图形，在上面画画是个好主意。我吗?我要画一些这样的基底。这是其中之一。从这里到这里的距离是函数的高度减0。这里的好处是平方的底就是这个，根号- 0。所以你?ve got the square root of ?x plus 6. I won?t bother with the -0, because it doesn?t change anything. There is the base of one of them.

如果我向上画，那么这是一个正方形。在正方形中，底部和高度是相同的。我们可以进入下一步；使用基本公式获得面积。就像我们刚才说的，正方形的面积是底乘以高，但是底和高是一样的。每个正方形上的面积是？x的平方根加上6个量的平方。基数乘以高度，它们是一样的，平方根。我在那里很幸运。任何一个横截面的面积都是？x加6。如果我们再画一个正方形的横截面，它会是一个更小的正方形。它会有更小的面积，但这个公式会给我们面积。

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所以任何一个横截面的面积都是？，x加6。面积是x加6的负值。我们正准备完成这个问题。从概念上讲，真正奇怪的是，如果你有一个正方形，你找到它的面积，它没有任何厚度，所以它没有任何体积。它是无限薄的。但是如果你把一大堆正方形叠起来，所有这些0的区域实际上加起来就是一个体积，很奇怪，尽管它是有效的。

我们来安排一下。进行此操作时，必须对横截面进行积分。它们也将以同样的方式设置。它总是面积的积分，可能是dx，也可能是dy，这个就是dx。我们有积分。在本例中，沿正方形垂直的方向进行积分。所以0到6是我的领域。这就是积分的极限。我要积分x加6dx。所以这是一个很好很简单的设置。

我们到这边来。然后，面积为？x的积分为-1/2x²。6的积分是6x。将其从0积分到6，这是一个快速简单的过程。我会把替代品留给你，简单又好。我在那里写了一个区域。我错了。那是音量。这本书是做这个积分的结果。这个的体积只有18。

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我们的下一个问题是比第一个问题更困难的两个步骤。有一件事会让事情变得更难，那就是我们要整合的区域不再是正方形了。它们将是矩形。这要困难得多，但这是你必须考虑的。第二件使这一点更难的事情是，它不是将基定义为函数和x轴之间的距离，而是定义为两个不同函数之间的距离。

找到形状的体积。使用垂直于x轴的横截面，我们的区域将在0到3之间。不过这次的横截面是矩形的。它们的基数由y等于x²减去9的函数确定。Y等于2x减去6。矩形的高度将是其底部的两倍。那将是其中一个矩形的底部。

现在，如果我想知道距离有多远，图表可以帮助我看到，是这个函数减去那个函数；线性函数减去二次函数。那我们就这么做吧。一个基数等于，看看s-2x加6减去的直线，因为距离总是通过减去x²减去9来计算的；减x²减9。让我简化一下。基数等于x²减去2x的负值。6减9等于15。似乎所有这些消极因素都会给你带来一些没有积极结果的基础，但它们会。

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例如，如果你在上面加上0，-0²减去2乘以0加15，那么这里和这里之间的底部高度为15。很好，没问题。回想一下最后一个问题。找到基地后，我们必须在整合之前做点什么。你会整合什么？地区。所以你需要一些区域。现在我们有了矩形。每当你遇到这些问题时，你必须意识到我们整合的是什么形状。最后一个是正方形，这一个是矩形。任何几何形状都是可能的。

从那以后的区域?矩形是底乘高。高是底的两倍。底乘以高。如果高是底的两倍，那么底乘以，我可以用2B代替高。你也吗?不需要展示很多工作。你可以在脑子里算出来。我们吗?我们要把它乘以它自己。 Base times base and, then double it.

2乘以括号。底是-x²- 2x + 15。现在你?你说哦!
我疼痛的头。你必须把那个三项式平方，因为记住它是基数乘以基数。每个基数为-x²减去2x加15。所以为了节省一点时间，我已经做了。我会很懒的。我要把这个写下来。因此，整个垃圾被分配后的面积是第四个的2倍，加上12x³，减去52x²，减去120x，再加上450。

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在我走之前你想什么?你打算做什么?这些问题有很多步骤。它吗?it’我们很容易陷入一步然后恐慌。我们再一次计算出底边的大小，然后计算出每个矩形的面积。现在我们吗?we’我们将把所有这些领域整合起来。所以这次体积是积分我们要从0到3积分。0到3倍;2x ^ 4 + 12x³- 52x²- 120x + 450。 Long as that looks, it?s a relatively straight forward integral. You?re going to have to do a lot of substitution, a lot of calculation. To save a little bit of time, I did that again off-screen. If do this integral properly, you might want to try it for practice. You?re going to get a volume of 3,006 over 5 which is 601.2.

记住我说的，横截面可以是任何几何形状。这次我们要试试半圆。我要再转一圈。使用垂直于y轴的横截面查找域在0和3之间的体积。函数在x上确定。我们必须解决这个问题。

我先把它画出来。我们要用0到3的定义域。

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X = 0到X = 3。这是x = 3。横截面需要积分。到y轴，垂直于y轴。换句话说，底是这里和这里之间的距离。我们吗?我们要把它变成y的函数，这样我们就能求出距离。

距离是y减去0的函数，因为这个点在x坐标为0的位置。所以我们的横截面是这样叠起来的。我们会再担心一下的。这个问题对y来说并不难解决。记住你是怎么做的。不太难。x的f等于x²。我要用y来代替x的f。那会让事情变得容易一点。Y等于x²。基本上，我是在做一个倒数。

现在让我们看看。我们将求两边的平方根。得到x是y的平方根的正负。看看我们的这个域，x总是有正值的，所以我们不希望有负值。我们只想看到积极的一面。最后一件事；x等于y的平方根。如果用函数表示法写，我们就不再有x的函数；我们有一个y的函数。y的函数是y的平方根。所以如果你选择任何你想要的y值，比如说4，4的平方根是2。该位置将位于2；该位置将位于1。这个距离是2。2减0等于2。那是我们的基地。

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现在我们有了一个基础，我们将继续，等一秒钟来制作横截面。任何单独的横截面看起来都像这样。这是一个半圆。在我们继续这样做之前，我们为什么不找出限制呢？记住我以前说过的话。当你做积分时，积分必须在你垂直的轴上。这一次，你要整合的形状，垂直于y轴。所以在我做积分之前，我需要知道y极限，而不是x极限。幸运的是，他们不难找到。

域x等于0，当x等于0时，y等于0。3是域中的另一个数字，但如果3是，则3²将是9。我们将使用0和9作为积分的极限。我们现在要转到下一个屏幕，因为我们需要计算面积公式。记住，y的f等于y的平方根。

半圆形横截面。我们知道从这里到这里的距离是y的平方根。那是半个圆。如果要求圆的面积，需要半径。这是你真正能赶上的地方。那不是半径，那是直径。这个半径是y的平方根的½。从那里到那里的距离，y平方根的½。

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现在我们可以继续使用圆的面积公式。面积等于πr²，但等一下，那不是一个圆；这是一个半圆，所以我需要另一半。这一半与那一半无关。这一半是从直径变成半径。这一半是从一整圈变成半圈。现在我们准备出发了。我必须计算出这个区域，我们的公式是什么，这样我就可以把它放到积分中，几乎用部分完成。

我们有½pi，半径是y的½平方根，所以用y的½平方根替换r。这将是平方。没有看起来那么难。y的平方，平方根是y。½平方根id¼乘以一半为1/8。好了。面积为1/8πy。现在我们必须把它们整合起来。

体积是积分。这是关于y的函数，记住我们的极限是y个数。不是问题中给出的0和3，而是0和9如果你把这些定义域的极限代入你的函数。我们吗?重新堆放区域。每个面积是1/8 y，很简单。对它积分，你会让?y的另一次方是y²。我吗?我们做了一个修正因子。这个修正系数是分数末端的½。 This 1/8 doesn?t change the fact that you need a correction factor.

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从0到9，我们有¼乘以½乘以y²。只要稍加替换，你就能很容易地得到最终答案。这个算出是81π乘以16；一块很好的圆周率。好了，横截面。

我们涵盖了3个不同的练习题，3个不同的设置。第一个是非常基本的横切面是垂直于x轴的正方形。第二种是垂直于x轴的矩形稍微复杂一点，这样就很难找到底了。第三个是垂直于y轴的半圆。

现在再来一点跟进。我吗?我想建议你做两件不同的事情。一是继续解决第二个问题;它涉及到矩形的横截面。用计算器算一下。你们可能会在AP考试的计算器部分看到这样的东西哪种情况下会呢?我不想做所有的权力和所有的分配，有太多的机会犯错误。

在你把它放进计算器之前，你要尽可能回到过去。所以我再次建议你在你的计算器上再试一次。我在奖金问题上有充分的准备。我建议的另一件事是，在奖金问题中，有一个涉及等边三角形的问题，我认为你应该试一试。与此同时，请记住时间像箭一样飞逝，像香蕉一样飞逝。