卷-圆盘法

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今天我们要讨论的是体积。音量是一个在AP微积分中经常出现的主题。我们今天要讲的方法，不像之前讲过的横截面的方法，它是求圆角物体体积的方法之一。我们要用圆盘法。有几种不同的方法来处理圆形对象的体积。这个方法和另一个叫做shell方法。shell方法在微积分课上经常会用到但我们不会太关注它因为AP考试不需要它。我知道我们不会用壳方法让你觉得里面像壳一样空心但你会克服它的。那是个玩笑。打开笑灯。

不管问题看起来有多复杂，每次都有一件事是相同的。在某种形式下，你通常做的是取一个函数，让它绕着一条线旋转然后求出旋转后得到的形状的体积。让我给你看一个。举个例子，如果你在这里取一个漂亮的小三角形。我在这个高科技演示中给了几支铅笔小费。铅笔就是斧头。如果我绕这个轴旋转它，你可以看到它描述了一个形状。如果你把它旋转得越来越快，你可能会更好地想象它的形状。它是把两个锥放在一起。现在,另一个。 Let's say for example that you want to take the function 2² of x and rotate it around the x axis? There is our axis that we are going to rotate on and rotate this.

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注意这个形状，绕它的轴旋转。你现在能看到那个形状了吗?有点像碗。当你旋转某物时，你会得到什么形状?我看看能不能画好。看到它所描述的圆圈了吗?这就是它的核心，圆圈。这条线是圆的半径，它绕着圆转，它穿过了构成圆面积的所有地方。圆圈。这就是公式，它来自于圆。 There is pi f(x). f(x) is the function. Sometimes people will call this r(x) instead. The reason they call it r(x) is because it's really the radius. This is r².

有趣的是，r²并不是体积。r²是面积，这就是奇怪的地方。你得到曲线，然后绕它的轴旋转，像这样旋转，你得到一个圆。这个圆有一个面积。再往前一点，绕着它的中心旋转另一个点。再往前一点，绕着它的半径旋转。你看到开始出现的形状了吗?这个在前面。

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这是圆锥形状。但奇怪的是，你真正拥有的是成堆的光盘。每个圆盘都是无限薄的，所以没有体积。但是如果你把这个区域上无限多的圆盘加起来，它们是无限薄的，你仍然会得到体积。这就是积分的作用。

积分必须发生在被旋转的形状的一端，这是A到另一端，这是b，所以它的极限总是沿着旋转的方向。可以在x轴上旋转，也可以绕其他x轴旋转，也可以在y轴上旋转。如果在y轴或y轴上旋转，这一定是dy，极限是y。

我们来试试。我们要绕x轴旋转我们刚刚看到的形状。事实上，绕x轴旋转使得这个问题相对简单。求当x的y = 2²绕x轴旋转时得到的形状的体积，并使用1到5之间的限制。

这是1处的一个极限，这是5处的另一个极限。如果我有一个位于1的圆盘并旋转它，它看起来像这样。这是半径。如果我有一个位于5的圆盘并旋转它，它是这样的。有几张有代表性的光盘。

注意到上次我改变了公式把r(x)换成了f(x)但记住我说过的，半径是最重要的。半径是从旋转的地方到函数所在的地方的距离。现在，不要错误地认为它总是以同样的方式被发现。

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这里面有很多可能的变化，这就是用圆盘来计算体积的混乱之处。这个比较简单，x轴到函数的距离就是函数。r(x)很简单，它就是2²(x)如果我想让它更有趣，我可以说，它绕y = 0轴旋转，也就是x轴。所以从这里到这里的距离是减去的距离，都是减去是否显示出来。我们用测量函数的地方减去函数，或者用轴减去函数。也就是2²(x - 0)其实就是2²(x)

稍后我们会遇到一些问题，我们将进行减法，得到一个不同的轴，一个不同于函数的半径。我们现在就来安排。记住，你必须用公式建立积分。但是今天我想在这里犯一些错误。让我们看看你能不能抓住他们。这里会埋一对夫妇。我们必须做r{x）和r（x）是x.Dx的2²，看看这里，这里有两个错误。π缺失，这是其中之一。很容易忘记它。但你实际上只是做面积和面积相加来得到体积。所以你必须有πr²。这是另一个，没有平方。它还不是πr²。所以我必须取这个量，然后计算我得把它摆正。

如果我化简一下，就得到乘以从1到5的积分。将2²(x)平方得到4x。

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4x，还有dx。积分得到2 x²从1到5的积分。记住x的积分是x²，但你需要修正因子。通过求导来验证。即使你很自信，也要偶尔做一次。x²的导数是2x，乘以2得到4。做几个替换，就做完了。

我可以把2pi因子放在前面，为什么不呢？这会节省我一些时间。然后我将5 in代入x²，这就是5x²。我使用微积分的第一个基本定理，它说，先代入第一个东西，然后代入第二个东西，然后代入结果。所以我得到了2倍π乘以5²minus1².5²是25，1²是1.25减去1，24.24乘以2π，我们的最终答案是48π。

向上和向上。我们确实涉及围绕X轴旋转的最后一个例子，因为光盘方法真的朝向X轴旋转。它确实很容易。在其他轴周围旋转有点难，但我们需要尝试。这并不难。所以我们将尝试在Y轴周围旋转。为什么？为什么不？Y轴。是的，这是一个数学笑话。 I as rotating around a vertical axis. Find the volume of this shape obtained when y equals 1/3x is rotated around the y axis and use limits of 0 to 15.

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绕y轴旋转。这样就会得到一个锥形。注意，我改变了音量公式位。不是很多，只是有点，但我不得不。因为积分的方向必须是圆盘堆叠的方向。这些是沿着y轴堆积的，所以你必须沿着y轴对这些圆盘进行积分。所以这就是为什么r (y) dy,我们下一个问题是,这不是一个y的函数,这是一个x的函数,所以我需要改变它之前我可以找到半径和y的函数,这是很容易做的虽然特别为这一个。

y等于x的1/3，所以如果这是这种情况，那么x必须是3y，你应该将两侧乘以3. x等于3y，现在是y的函数，因为你可以使用y编号找到x。我们需要得到半径。我们的y y y adius，半径是从轴到旋转的距离的距离。正在旋转的是这一点。有轴，它绕过该垂直轴。嗯，如果你从那个轴上衡量的形状，你真的只是使用这个功能。

从技术上讲，在这种情况下，我说，我要取这个函数，然后减去它的轴，然后你得到的半径是y = 3y。我要告诉你们一些你们必须记住的东西，因为它将会在这集的最后出现。在我们做的最后两个，我们有函数然后减去轴。现在你可能会想，我知道该怎么做了，我只需要取这个函数然后减去坐标轴。不，没那么简单。

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有时你需要用一种奇怪的方式来逆转它。真的没有可预测的方式来说你要做什么，因为有很多可能的变化。你唯一能确定的就是半径。它总是半径。你做任何必要的加法或减法，以任何必要的顺序来求出轴和旋转物体之间的距离。让我们回到这个问题，我现在就开始。

体积是，的积分，我又犯错误了，真糟糕。当然，我犯这些错误的目的，是看看你是否能抓住它们。因为如果你能抓住，你就能很好地理解发生了什么。这里只有一个错误。是的,就是这个。0到15。这些是x。对y积分，需要y个数。当x = 0时，0的1/3是0所以y是相同的但当x = 15时，y是15的1/3，也就是5。我们把它删掉。 The real limits are 0 to 5. I want to square before I do the integral and while I'm at it to make things a little simpler I know that when I square 3y I'm going to get 9y². I'll put the 9 out front as a factor. That's a nice trick for doing integrals because it makes it a little less confusing if you don't have these constants in there. So we have to integrate that y², dy, and the integral of y² is one power higher, that's y cubed. But of course there is the correction factor of 1/3.

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当所有这些都说了，我们将得到9倍的1/3，也就是3，乘以π乘以y的1/3次方。这一个必须从0到5进行计算。我将留给你们去尝试。这真的是一件非常快的事情。最终的结果是375π。

一个更令人生作的时间。最近的AP测试包括与我们所做的那样复杂的问题，所以最好准备好。我们将在这次增加两个不同的东西。一个是我们将添加一个叫做垫圈的东西。垫圈是他们听起来的声音。这是一种形状，看起来像，这是一个带有圆圈的圆圈，就像他们在组装东西中使用的那种垫子一样。所以当你这样做时，你基本上是做一个形状并减去另一个形状。我们要添加的其他阐述是我们旋转的轴不是坐标轴之一。

让我们来看看。求当所有这些定义的区域围绕直线y = -1旋转时得到的形状的体积。所以它绕着一条y轴旋转，这告诉我，我必须使用关于x积分的公式，看看这里的其他东西。这和以前的公式不一样了。现在是大写的R²减去小写的r²。换句话说，我们先求大分子的体积然后再求小分子的体积，然后减去它们。

请注意，两个rs上都有正方形。

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如果您写入此问题，（R-R）≥并集成，则不会获得相同的答案。你真的可以单独做两卷并减去它们。但是，平方往往更快，减去它们然后集成，所以让我们摆脱这个。在所有轴中掉落。

这个问题没有给你x或y限制，但它所做的是给你足够的公式，你可以锁定形状是什么。我们有x等于0，这是这个垂直线。我们有x等于3.这是这个垂直线。我们有f（x）等于xâ²+ 5，这是这个抛物线。和g（x）等于x + 2，它是倾斜的线条。因此，被困在那里的区域形状像那样，它会在这里旋转旋转。我现在要绘制一些形状。

如果你旋转外部函数，它会给你这样的结果。如果你旋转内部函数，你会得到这样的结果。然后你有一个漂亮的小洗衣机。你可以有很多这样的洗衣机，还有一个像那样的。如果你把所有的洗衣机都整合起来，你就会得到体积。所以，最终的结果将是一个形状，看起来像这样。我们现在得开始工作了。记住最后两个问题，对于半径，只需使用函数。就这样。这次更复杂了。半径就是半径。半径是函数到轴的距离。

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所以它是减去轴的函数。首先是大一，大写字母R.R（x），这是从这里到这里的距离，轴，到外部函数。这是更大的半径，也就是R。现在，如果轴就是x轴，距离就是函数，就是x²+5。但是x²+5，是这样的。轴是这样的。函数的结果就是这个长度，然后你必须再加上一点因为它离y轴的距离比它离函数的距离远，y轴等于-1。

函数减去坐标轴，函数是x²+ 5我要减去坐标轴，结果是-1。这是远。这是-1。所以这个半径的最终结果是x²+ 6。我们会在设置时保存它。现在，我们需要找到较小的半径。小半径是一样的，只是不同的函数减去相同的轴。对于这个，较小的函数是x + 2。更小的意思是更靠近轴。我要减去到轴的距离，所以是-1。 There's our small one. It is x + 2 minus -1 which is x + 3.

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所以我们有两部分我们需要继续下一个部分。体积。我们的半径都是大的。大一个是xâ²+ 6，小一个是x + 3，现在我们可以设置它。我们的集成限制由左侧或右垂直线路定义，因此我们已准备好了。

体积是积分。一条垂直线是0，另一条是3我今天想犯错误，看看你们能不能抓住它。看看你能不能把它们都抓住。回顾一下你的笔记，看看这个公式。我忘了什么?涉及面积的东西，就是正方形。记住，它们必须像这样单独平方，我应该在整个式子周围加上一个大括号因为整个式子必须和dx积分。

好吧，现在让我们全力以赴。我们要平方这个，平方这个，减去结果。我们有，从0到3的积分。有趣的是，这只是一个二项式当你平方x²+ 6时，你会得到第一项的平方，也就是x ^ 4。第一项，第二项翻倍，等于12x²。如果你还没有记住二项式捷径的话，你应该记住它。这是超级方便。加上最后一项的平方，也就是36减去。

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我真的需要下一个括号，因为如果你只是把这个平方，把负号放在前面，你很可能会失去一些你需要的负号。平方x+3会得到第一项的平方加上第一项的上一项的双倍，即6x加上最后一项的平方，现在我们快到了。

我们得到乘以从0到3的积分，把类似的项放在一起。在那之前，我要先迈出我认为你真的应该迈出的一小步，尽管这看起来很傻。把这个负号放到括号前面然后把它分配到括号里面这样就不会把符号弄乱了。加，减，减，减。x ^ 4，这里没有x ^ 4。12x²+ -x²= 11x²。我们有+ -6x，我们不想忘记这个。现在是36。得到36 + -9，等于25。看看这些东西。 Again, you need to integrate.

记住这个积分是1/5 (x ^ 5)这个积分是11/3 (x ^ 3)这个积分是-3x²，这个积分是25x。当你替换了所有这些数，所有这些幂，所有这些分数之后，确实需要一段时间。如果这是在自由响应计算器部分，你就不用费心了，你只要把它输入计算器就行了。

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但是如果你必须手工做，这是你应该得到的结果，1008/5，这是很大的一段，201.6。我们还有足够的时间再看一件事。看一看。

这个要求你求出形状的体积当这个区域是由所有这些东西定义的，绕y = 4旋转。我把这个放进去的原因是，求它的半径可能有点让人困惑。我们先画一个草图。

所以x，y轴，我需要有一个x等于0的定义，这就是我们的边界之一。我们有y等于16，这是我们的另一个边界。这将在这里出路。并且该函数是X的平方根，我们需要一个更好的这个边界的定义。我只有几个界限。我没有足够的。我没有那里的顶部或底部。所以我要把它添加到问题。我要把它添加到问题。

我要加入绑定的y等于0.这只是一种奇特的方式来说x轴。所以这是形状。如果你想到它，其中一个界限真的是不必要的。那个x等于0.因为这是该功能可以随时到达的最远。现在让我们在轴上绘制，线Y等于4.这里是有趣的部分来的地方。看看x是16时，你把它放进函数，16的平方是4.如此在这个地方的高度就是4。

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这意味着轴只与它接触，更糟糕的是，轴在形状的上方而不是下方。这让事情变得更加棘手。你可能会想，等一下。这个小问题，这只是一个圆盘但实际上这个是一个垫圈。信不信由你。因为有两个函数要绕轴旋转。这是一个像这样的大圆这是一个小圆。想象一下我们现在得到的形状基本上是一个大圆柱体里面被掏空了。它被这个方形的木头掏空了。

在某种程度上，想象一下这个正方形的形状有点像小号的钟声，然后把小号的钟声放进一个圆柱体，我们发现的体积在小号的钟声和圆柱体的外部之间。我们来做准备吧。外部函数是轴之间的距离，即4。轴与此功能之间的距离。这个函数只是x等于0，但半径仍然是轴和函数之间的距离，所以在这种情况下，你不需要；我不必想太多。y等于4和y等于4之间的距离。这就是全部的外部功能。没关系。有时候，它们可能就这么简单。

内部的一个。这个会给你带来另一点困惑。对于内部函数，它是轴和函数之间的距离。我再画一个草图这样你们看得更清楚一些。

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这是我们在4的轴，这是我们的函数，小r必须在轴和函数之间。如果你使用这个函数，它不会给你这个，它会给你这个。这是函数。这是小半径。但是小半径中的函数加在一起构成了4的总距离，因为轴就是这样的。你可以通过取4减去函数得到半径。奇怪的是，这可能发生。它并不总是像取函数和使用轴那样简单。有时你必须这样做。4减去函数，函数就是x的平方根。

现在，我要把这个写出来。我会把这些步骤和我给你们看的其他问题一起放到辅助材料里，这样你们就能看到计算答案所涉及的所有内容。

今天我们讨论了体积或旋转，它是当你围绕一个轴旋转一个由特定区域定义的形状时得到的体积。我们做的第一个是绕x轴旋转，这是个相对简单的问题。我们转到一个稍微难一点的，绕y轴旋转。绕y轴旋转要求我们求出关于y的函数，而不是关于x的函数。

接下来我们进行了进一步的阐述，我们使用了洗衣机法。我们的轴甚至不是沿着形状的。轴被从形状中移除，就像这样。基本上就是体积减去体积。

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我们看的最后一个，是轴连接到形状上而不是在x轴上。所以这题又难了一步。在AP考试中，你肯定会看到大量的旋转。很可能是在自由回答部分。他们可能会问你一个难题，就像你需要找到两个函数的交点，才能找到积分限。在额外的材料中寻找类似的练习题，包括所有的步骤。

信不信由你，在多项选择题中找到一个。如果你做了，它可能就像一个问题，让你从5种不同的组合中选择来求体积，在这种情况下，它非常快，你只需要把它写出来。我建议你们在看多项选择题之前就把它写出来，因为有时看到多项选择题可能会对你产生错误的影响。再次感谢收看，请记住，请继续收看。