余弦加法公式-概念

我想推导一个差分公式的余弦，但让我先解释一下这意味着什么。让我们来看一幅图片，这是单位圆，我有两个点A和B，A点的坐标是余弦α，正弦α，点B的坐标是余弦β，正弦β。我想找到这个角的余弦公式，这里是β减去α，这个角是β，这是α，所以两者之间的夹角是β减去α，我想要一个余弦。
现在让我们回忆一下余弦定律，如果我有一个三角形，我想求c边的长度，我需要这两条边和它们之间的夹角，我将使用这个公式a的平方减去b的平方减去2ab的余弦，这是伽马，它们之间的夹角。
好的，让我们从这张图片上的余弦定律开始，所以余弦第一定律，让我们观察一下，我要解这个长度，它是我们的c平方，所以它等于，然后我的a和b，这两个长度都是1，因为这是单位圆，半径是1，所以任何半径都有长度1，这两个都有长度1，所以它是1平方加1平方减2乘以1乘以1乘以它们之间夹角的余弦，这个角度，所以1平方加1平方减2乘以1乘以1乘以β减α的余弦，β减α再次是这个角度。好的，现在稍微简化一下，这是ab平方等于2减去2，β减去α的余弦。好的，这是一个公式。
现在我想做的第二件事是使用距离公式。记住，距离公式是我们如何求平面上两点之间的距离，我想求这两点之间的距离，实际上我想求距离的平方。但距离公式会说，长度ab是的平方根，取x坐标的差，即余弦β减去余弦α平方，再加上y坐标的差，即正弦β减去正弦α平方。现在我对这个右边的平方很感兴趣，因为最终我会把我得到的结果和这个相等，所以我想要ab平方等于，然后我会得到β的余弦减去余弦α平方加上正弦β减去正弦α平方。现在我们要展开这个，好吧，这会是一个混乱，但你自己准备好，我展开这个，我得到余弦平方β减去2余弦β余弦α加上余弦平方α，这是这个项的展开。现在让我们来做这个项，加上正弦平方β减去乘积2的两倍正弦β正弦α加上正弦平方α。看起来很糟糕，但真正美好的事情即将发生。看看这个，我们得到了余弦平方β加上正弦平方β，非常好，通过毕达哥拉斯恒等式加起来就是一，所以我在这里放了一个1。
我们还有cos的平方和sin的平方它们加起来也是1所以这是另一个1，所以你写这等于1 + 1,然后我剩下的东西- 2让我观察到的其余条款- 2在他们面前我可以写- 2因素,我将剩下的余弦βcosα考虑离开这里,离开这里我要加上正弦βsinα,这正好是(2 - 2cos cos + sin sin)这就是距离公式中ab²的值。如果我们把它等同于ab²根据余弦定理，我们得到了这个我们得到这个等于这个2 - 2cos -。现在让我们注意到,在双方方程两边有2 - 2 *我们可以取消这2个的,然后两边同时除以- 2我们会得到正弦余弦βcosα+βsinα= cosαβ-这是我们的公式把它正确。cos(-)等于cos cos加上sin sin。这就是差余弦公式在以后的课程中我们会经常用到它。