向量的叉积-第三题

我想用我们学过的向量积来求一个平面的方程。现在我们记住，为了求出一个平面的方程，你需要找到一个垂直于这个平面的向量。

也就是说，一个垂直于平面的向量也就是说，它垂直于平面内的任何向量。所以我要做的是，找出平面内的两个向量，然后它们的叉乘垂直于它们中的每一个。这是垂直于平面的，这正是我想做的。我有三个点，可以做向量。

我们考虑向量AB和向量AC，这两个向量在平面上，我将通过计算它们的叉乘来创建一个法向量。

从A到B的向量是。从A到C的向量是。所以我的法向量,我叫n,等于积AB交叉AC。积是我j k。然后我需要的组件AB第一0 - 2,4,然后1 0 2 AC的组件。所以让我扩大。我得到I乘以这个余数;- 2 4 0 2，减去j乘以这个余数;0 4 12，加上k乘以这个余数;0 - 2这得到了什么?

-4 - 0 -4i。0 -4 -4乘以-j加4j。0减-2等于2k，所以这是法向量-4i加4j加2k，等于-4，分量形式是<-4 4 2>。

记住,从我们以前的结果,我们知道,如果我们有一个平面的法向量,以组件形式,那么这些最终的系数x, y, z。所以我可以做任何方程4 x + y + 2 z等于某个值d。我只需要找到d值,很容易做到。你要做的就是从已知的平面上的三个点中选择一个，把这个点代入方程。我想选这个，因为这里有个0，这样会更简单一些。

所以(210)在这个平面上。代入就得到-4 * 2 + 4 * 1 + 2 * 0 = d -8 + 4 -4，这就是d。D = -4，所以平面是-4x + 4y + 2z = -4。

现在你当然可以得到同一个平面的另一个方程通过乘以另一个概念。你可能会注意到我可以化简这个。我需要约掉因子2。这无关紧要，它仍然是平面的方程。

我们再过一遍流程吧。这很重要，因为我们之前做的问题之一是，我们给出了平面的法向量。那是一份相当大的礼物。假设你只知道这三个点在平面上，这三个点决定了一个平面。所以你可以求出平面上的两个向量AB和AC，求它们的叉乘就得到了一条法向量。一旦你有了平面的法向量，就很容易把它变成方程。代入其中一个点，解出d的值。