记住，点积的一个很巧妙的应用，就是你可以用它来求两个向量之间的夹角。我们在这里做。我们有向量u = < 2,6 > v = <- 1,2 >。回忆的公式;两个向量夹角的余弦等于u.v，两个向量的点积，除以模的乘积。
让我先计算一下大小，我通常喜欢这样做。u的模等于√2²或4，加上6²等于36。√4 + 36，等于√40，也就是2√10。v的模等于-1²的平方根或者1 + 2²或者4。1 + 4，等于√5。
cos = u·v, 2 *(-1 -2)加上6 *(2,12)除以2√10 *√5。分子化简为10。除以2乘以根10乘以根5。现在我们来观察一下，我可以在这里做一些消去。根10和根10约掉根10和根5可以约掉根2。这就等于√2 / 2。哪个角的余弦值等于√2 / 2?这是45度。这个甚至不需要计算器。这两个向量的夹角是45度。
把那个问题和下面的比较一下。这两个向量几乎相同，这是相同的u向量但这里我想找出u和v的对边之间的夹角，就是刚才讨论过的向量的对边。这两个向量之间的夹角是u·这个向量叫做- v或者v的对边，除以u的模，乘以v的对边的模u的模仍然是2√10。v对边的模，v对边的长度和v一样，只是指向相反的方向。它也是√5。分母上，仍然是2√10 *√5，分子上是2 * 1,2，加上6 *(-2)-12。得到-10除以2乘以根10乘以根5。
这和我之前做的非常相似。我有10除以2乘以根号10乘以根号5。这恰恰相反。我把它化简成-√2 / 2。我要算出哪个角的余弦值是- 2 / 2?这是135度。
这个问题的有趣之处在于，如果你取两个向量的夹角，无论你得到的答案是什么，找到第一个向量和第二个向量的对边的夹角，你总是会得到补角。这是有道理的。这是一张小照片。如果这是u，这是v, 45度，这是-v。这是有道理的，135补充。
