我想谈谈点积的一个非常重要的性质它可以用来求两个向量之间的夹角假设我们有两个向量u和v这是它们之间的夹角它将是0和之间的某个角如果我想求它，我可以用点积的这个性质。cos等于这两个向量的点积除以它们大小的乘积记住，总是在0和之间或者0°到180之间。
让我们看看它是如何工作的，这是一个例子让u = 3 - 1 v = 2 - 5。我先把它画成位置向量然后计算它们之间的夹角。回想一下，当你把一个向量画成位置向量时你把它的起始点放在原点上所以3 - 1就是终点。3 - 1在这里，所以向量u在这里所以这是它的位置向量，我把它标记为u然后v从原点到2 - 5,2,1,2,3,4,5所以像这个点这样的东西现在先画一下草图让我们知道它们之间的夹角是多少。这是v，它们之间的夹角看起来是q所以提前知道这个很好。
我们来计算一下用这个公式cos等于两个向量u.v的点积除以它们模的乘积。所以我应该计算它们的大小，现在u的大小是√(3²+ - 1²)根号9加上1根10 v的模等于根号下2方或4加上- 5方或25等于29。我可以把cos写在分母上等于√10乘以√29现在我们来计算点积uv它是3乘以2 6加上- 1乘以- 5,5。所以我们得到11除以这个平方根的乘积，我把它写成平方根290更快地进入计算器这是cos。如果我想要我们需要用反cos，就等于反cos(11 /√290)我们来计算一下，我希望我的答案是度数所以我要确保我是在度数模式下，我确实是。所以cos11除以根号290等于49.8度这是一个近似，看起来是对的。
记住当你计算两个向量的夹角时用这个公式非常重要，非常重要的点积应用。两个向量夹角的余弦等于这两个向量的点积除以它们大小的乘积。
