单位
指数和对数函数
好的。
我想谈谈数字E
为什么我们用它作为指数的基底
函数，为什么这么特别。
我在这里画了一个图。
任意指数函数的图
F (X) = B ^ X
这个紫色的图。
我还画出了它的切线
在0.01线排队
现在我要做的是
来探究两者之间的关系
底B和斜率
切线的。
为了做到这一点，我将使用a
演示从几何画板。
好的。
你可以看到我已经画出了这个函数
G (X) = 2 ^ X。
实际上是B的x次方，但是我可以
将B的值更改为任何值
我想要的。这个图表是红色的。
这个图像，tan
线，用蓝色表示。
现在斜率是。693
我把这条切线移动一下。
注意，当我移动切线时
在。01处仍然相切，
但是随着切线的移动
周围，基底变化。
当我把它移到切线上时
坡度越小，底部就越小。
当我把它移到切线上时
越陡，底部就越大。
如果我移动它使切线
中间的底的斜率是负的
0和1。好的。
让我们来看看其中一些
特定的值。
当B = 2时。同样，斜率
.693,
当B = 3时，斜率为
1.099.
这让我想知道在哪里
斜率等于1吗?
是2.5吗?不。
2.75 ?不。
如果我想要得到
斜率正好是1，我需要B是
2.71828.
就是e，这是唯一的底数
这样就可以得到正切
直线的斜率正好是1.01。好的。
让我们总结一下我们的发现。
如果B大于1，则斜率
切线的值是正的。
如果B在0和1之间，那么
切线的斜率是负的。
如果你想让斜率精确
1，你需要B等于E, E是
约2.71828,
这是对
数字E的特殊之处。
现在我给你们一个定义
E有一个非常复杂的
定义。这是N趋于时的极限
(1 + 1 / N) ^ N。
现在，为了帮助你们理解这个定义
好一点了，我要走了
为这个表达式计算一些值
1 + 1 / N ^ N。
我做一个小表格。
让我从值1开始。当
N = 1，得到1 + 1 / 1，
2的1次方。得到2。和
任何超过我要去的地方
需要计算器。
代入10，得到1 +
1 / 10的10次方
用计算器算，大概是
2.5937.如果代入100，就得到1 + 1 /
100的100次方。大约是2.7048。
我要一直以10的幂递增。
所以一千，我不去了
再把它写出来。
2.71692.
一百万怎么样?
2.71828.
最终得到了收敛
当N = 100万时。
求这个极限需要很长时间，
这个极限开始变得
接近，这个值开始得到
非常接近e，但是记住
E被定义为极限
这个表达式。
这些值是heading
当N趋于无穷时，趋于E。
