求复数的根-概念

我们来讨论一下如何求复数的根。我们将从一个例子开始。求8i的立方根。我想先建立一个方程，z³= 8i。记住，8i的立方根是一个数字，当立方得到8i时所有的立方根都必须满足这个方程所以我要找这个方程的解。
现在我们假设z的立方根是rcos + isin的形式我们假设它们都是三角形式。如果它们,然后我可以立方体使用DeMoivre定理和我也想写我三角形式其实很容易,因为我是8点单位远离原点模量是8和它的参数,我们有很多选择,但最明显的选择是π/ 2。但是我们要记住，我们也可以在上面加上2这也是一个选项。我们可以再加一个2这是另一个选择2，等等我们把它记在脑子里但是现在写cos / 2 + isin / 2。好的，我们把它展开我们用DeMoivre定理简化一下，我们得到r³cos，记住这个参数乘以3,cos 3 + issin 3等于8cos / 2 + issin / 2。现在对这些双方等于我需要r的立方等于8,我需要3θ等于π/ 2,记住它不只是是π/ 2π/ 2 + 2ππ/ 2 + 4π,π/ 2 + 2 nππ的任何甚至多个,首先这个立方= 8表示r 2对,记住，我要找的是实数答案那就是那就是根的长度根的模所有根的模都是2。那么论证呢?两边同时除以3，得到/ 6 + 2n / 3。当n = 0时，我会得到/ 6我可以用的一个参数是/ 6。 Let's start with that one, so one root would be z equals the modulus of 2 times cosine of pi over 6 plus i sine pi over 6. Cosine of pi over 6 is root 3 over 2 so this is 2 times root 3 over 2 oops plus and the sine of pi over 6 is a half so i times a half, 2 times root 3 over 2 is root 3, 2 times a half is 1 so I get i, sorry about that, and that's one of my roots root 3 plus i.
让n = 1得到第二个根。如果n = 1，那么我在/ 6上加上2 / 3，2π/ 3等于4π/ 6 4π/ 6 +π/ 6 5 6π/这是我的新论点z = 2 cos 5π/ 6 + isin 5π/ 6,我得到2 * cos 5π/ 6 - 3根/ 2和5ππ/ 6的正弦半再次得到-根3 +我的第二根。
n = 2时的三次方根。当n = 2我有4π/ 3和添加4π/ 3是一样的添加8π/ 6,π/ 6 + 8π/ 6 9π/ 6和9π/ 6一样3π/ 2 z = 2 cos 3π/ 2 + isin 3π/ 2,这个很容易3π/ 2这是向下的方向。cos (3 / 2) = 0 sin(3 / 2) = -1得到2 * 0 + I * -1也就是-2i这就做完了。
如果我计算n = 3，就会得到和这里一样的根。如果我计算n = 4，我会得到这个，n = 5，我会得到这个，我一遍又一遍地循环结果是它们只有3个不同的根任意复数的3个不同的立方根。根的个数等于根的索引所以1 / 5 5个根的个数是5 7个根的个数是7所以记住当你解这些的时候你只会得到一个数的3个不同的立方根。除此之外，我们来看看这些数字的曲线图，注意所有3模数2他们在同一距离0,他们都是对称3完整的旋转对称连续根之间的角度是120度这总是发生在根他们总是有对称和他们总是有相同的长度。当你求复数的根的时候要记住这一点。